Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 2016 => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Temmuz 14, 2016, 03:43:14 ös
-
Tahtaya $$(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)$$ denklemi yazılmıştır (denklemin her iki tarafında $2016$ şar lineeer çarpan bulunuyor).Bu $4032$ lineer çarpandan tam olarak $k$ tanesi, her iki tarafta en az birer çarpan kalacak ve geriye kalan denklemin hiç reel çözümü olmayacak şekilde, silinebiliyorsa $k$ nin alabileceği en küçük değer nedir?
-
Yanıtımız:$\boxed{2016}$
$1008$ eşitsizliği alt alta yazalım. $$\begin{array}{rcl}
(x-1)(x-4) &<& (x-2)(x-3) \\
(x-5)(x-8) &<& (x-6)(x-7) \\
(x-9)(x-12) &<& (x-10)(x-11) \\
&\vdots \\
(x-2013)(x-2016) &<& (x-2014)(x-2015).
\end{array}$$
Buradaki bütün eşitsizliklerde, en fazla bir tane negatif terim yer alacak, her iki taraf birden $0$ olmayacak. Eğer her iki taraftan birinde tam olarak bir negatif terim varsa, bu negatif terim eşitsizliklerin sol tarafında olacak yani eşitsizlikleri taraf tarafa çarpabiliriz. Kontrol etmemiz gereken durum, $x \in (4m-2, 4m-1)$ (burada $m$ $m.$ eşitsizliği ifade ediyor.) çünkü eşitsizliğin iki tarafında da $9$ çarpanı yer alabiliyor. O halde Göstermemiz gereken \[ \prod_{k \ge 0}^{2016} \frac{(4k+2)(4k+3)}{(4k+1)(4k+4)} < e. \] olduğu.
Bu ifadenin eşiti \[\prod_{k \ge 0}^{2016} \frac{(4k+2)(4k+3)}{(4k+1)(4k+4)} = \sum_{k \ge 0}^{2016} \log \left( 1 + \frac{1}{(4k+1)(4k+4)} \right) < 1. \] olduğundan ve $\log(1+t) \le t$ eşitsizliği geçerli olduğundan, \[ \sum_{k \ge 0}^{2016} \frac{1}{(4k+1)(4k+4)} < 1 \] eşitsizliği geçerli. $\square$