Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 2016 => Konuyu başlatan: KereMath - Temmuz 13, 2016, 01:08:35 öö
-
Pozitif tamsayılardan oluşan en az 2 elemanlı bir alt kümede.Her eleman en az 1 diğer elemanla ortak bir asal.bölene sahipse bu kümeye $mis gibi$ diyelim $P(n)$=n2$+n+1$ olsun
{P(a+1),P(a+2),...,P(a+b)}
kümesi mis gibi olacak şekilde bir a negatif olmayan tam sayısı bulunuyorsa b nin alabileceği en küçük değer nedir?
-
Herhangi bir x sayısı için ebob(P(x),P(x+1))=1 dir dolayısıyla b=2 olamaz.b=3 ise P(x),P(x+1),P(x+2) sayıları için P(x+1) in ortak asal böleni olduğu sayı yoktur.Buradan b=3 olamaz.b=4 olsun tek durum P(x) ile P(x+2) ve P(x+1) ile P(x+3) ün eşleşmesidir.Buradan P(x) ve P(x+2) için x=2(mod7)
P(x+1) ve P(x+3) için x=1(mod7) olur.çelişki!
b=4 durumundan da çözüm gelmiyor.
b=5 durumuna bakalım P(x) ile P(x+2) eşleşsin.burdan P(x+1) ile P(x+3) eşleşeneyeceğini göstermiştik (b=4 durumunda) P(x+1) ile P(x+4) eşleşmelidir(x=0(mod3)).Geriye P(x+3) ün eşleşebileceği ancak P(x) kalıyor.Buradan da x=1(mod3) gelmektedir.Çelişki! O zaman P(x) ile P(x+3) eşleşsin(Buradan x=1(mod3) geliyor).P(x+2) P(x+4) ile eşleşmelidir.P(x+1) ise P(x+3) ve P(x+4) ile eşleşmelidir ki P(x+3) ile eşleşmesi b=4 durumuna aykırıdır.P(x+1) ile P(x+4) eşleşecektir buradan x=0(mod3) geliyor.Çelişki!.O zaman P(x) ile P(x+4) eşleşecektir.P(x+1) ile P(x+3) eşleşiyorsa P(x+2) ile de P(x+4) eşleşir ki b=4 durumuyla çelişir.P(x+1) ile P(x+4) eşleşmelidir.P(x+3) kimseyle eşleşemeyeceği için çelişki elde edilir.
b=6 ise P(a+1) ile P(a+5),P(a+2) ile P(a+4),P(a+3) ile P(a+6) eşleştirilir.Denklemler sırasıyla öklit algoritması ve çinli kalan teoremiyle çözülürse a=196(mod399) sağlanmaktadır.Dolayısıyla b nin alabileceği en küçük değer 6 olmaktadır