Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: ArtOfMathSolving - Haziran 29, 2016, 03:20:28 öö
-
$\dfrac{\ln x}{x^3-1} < \dfrac{x+1}{3(x^3+x)}$ eşitsizliğinin doğruluğunu gösteriniz.
-
Eşitsizliği düzenleyelim. ${\ln x} < \dfrac{(x+1){(x^3-1)}}{3(x^3+x)} $.
Şimdi de $g(x)=x^4+x^3-x-1$, $f(x)=3x^2+3x$ olsun. Yukarıdaki eşitsizliğin her iki tarafının türevini alalım. $$\frac{1}{x}<\left( \frac{g(x)}{f(x)}\right)' \Rightarrow \frac{g'(x)f(x)-f'(x)g(x)}{f^2x} \Rightarrow \frac{4x^7+x^5+x^4+2x^3+2x^2+x+1}{3x^2(x^2+1)^2}>1$$
olduğunu göstermemiz gerekecek.
bu eşitsizliği düzenlersek, $$4 x^6-3x^5+x^4+5x^3+2 x^2-x+1>0$$ eşitsizliğini elde ederiz ki bu eşitsizlik $0,9$ noktasında yerel minumum noktasına sahiptir. İspat biter. $\square$
-
Eşitsizliği düzenleyelim. ${\ln x} < \dfrac{(x+1){(x^3-1)}}{3(x^3+x)} $.
Şimdi de $g(x)=x^4+x^3-x-1$, $f(x)=3x^2+3x$ olsun. Yukarıdaki eşitsizliğin her iki tarafının türevini alalım. $$\frac{1}{x}<\left( \frac{g(x)}{f(x)}\right)' \Rightarrow \frac{g'(x)f(x)-f'(x)g(x)}{f^2x} \Rightarrow \frac{4x^7+x^5+x^4+2x^3+2x^2+x+1}{3x^2(x^2+1)^2}>1$$
olduğunu göstermemiz gerekecek.
bu eşitsizliği düzenlersek, $$4 x^6-3x^5+x^4+5x^3+2 x^2-x+1>0$$ eşitsizliğini elde ederiz ki bu eşitsizlik $0,9$ noktasında yerel minumum noktasına sahiptir. İspat biter. $\square$
$lnx$ in tanımlı olabilmesi için $x>0$ olması gerekmez midir?
-
Soru $Green$ $Book$ adlı bir kitaptan, (2. Etkinlik olmalı) tabiki $x>0,x\not=1$ verilmiş, yazmaya üşenmiştim.
-
Soru $Green$ $Book$ adlı bir kitaptan, (2. Etkinlik olmalı) tabiki $x>0,x\not=1$ verilmiş, yazmaya üşenmiştim.
o halde fonksiyonun 0 da yerel minimumu olamaz,çünkü fonksiyon tanımlı değildir?
-
$0,9$ dan kastım, sayının nümerik değeriydi. Yanlış mıyım?
-
$0,9$ dan kastım, sayının nümerik değeriydi. Yanlış mıyım?
0,9 u ben x=0,y=9 anladım :D:D çok özür dilerim.
-
Önemli değil, bir yanlışım olduysa veya kafanıza bir yer takılmışsa lütfen belirtin, konu hakkında beyin fırtınası yapmak güzel bir deneyim oluyor. :)
-
Önemli değil, bir yanlışım olduysa veya kafanıza bir yer takılmışsa lütfen belirtin, konu hakkında beyin fırtınası yapmak güzel bir deneyim oluyor. :)
Esasen fonksiyonun yerel minimum noktasının cebirsel olarak bulunmasının da ispatını görmek isterdim
-
Şuan müsait değilim, çözüm girerken wolframdan hesaplatmıştım, müsait olunca hemen ekleyeyim.
-
$f(x)=4 x^6-3x^5+x^4+5x^3+2 x^2-x+1$ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulacağız. İlk önce küçük değerler için fonksiyonun grafiğini çizelim.
(http://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=5971.0;attach=14923;image)
Görüldüğü gibi fonksiyonun kolları yukarı doğru, yani bir yerel minimum noktası mevcut. $\Rightarrow f'(x)=24x^5-15x^4+4x^3+15x^2+4x-1=0$
Şimdi bu denklemin köklerini bulmak zor fakat kök teoremleri ile bu köklerden $3$ ü pozitif $2$ si negatif, yalnızca $1$ tanesinin reel geri kalanlarının complex olduğunu görebiliriz. Köklerin yaklaşık değerlerini bilgisayar yardımıyla bulabiliyoruz.
$
x = 0.156277$
$x = -0.450911-0.206891 i$
$x = -0.450911+0.206891 i$
$x = 0.685272-0.783377 i
$
Cebirsel olarak tüm $5.$ derece denklemlerde işe yarayan formül bulunamıyor. Evariste Galois ve Abel bunu kanıtladı, fakat $5.$ derece bir denklem $x^5+px+q=0$ şekline gelebiliyor. Öğrendiğim kadarıyla bu denklemleri çözmek için bazı fonksiyonlar kullanılabiliyormuş ( Jacobi, Teta, Beta,...) insanlar tam anlamıyla denklemlere hakim değil, şuanki matematiğimiz buna yetmiyor, belki bulamadığımız sayı sistemleri vardır kim bilir ;D