Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2016 => Konuyu başlatan: Eray - Haziran 08, 2016, 06:17:36 ös
-
Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $BC$ kenarına ait yükseklik $C$ den geçen ve $AB$ doğrusuna $A$ da teğet olan çemberi ikinci kez $K$ de kesiyor. Benzer şekilde $AC$ kenarına ait yükseklik $C$ den geçen ve $AB$ doğrusuna $B$ de teğet olan çemberi ikinci kez $L$ de kesiyor. $|CK|=12$, $|KL|=9$ ise $|CL|$ uzunluğunun alabileceği değerler toplamı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 15 \qquad\textbf{c)}\ 18 \qquad\textbf{d)}\ 21 \qquad\textbf{e)}\ 24$
-
Yanıt: $\boxed{E}$
$ABC$ üçgeninde $H$ diklik merkezi olsun.
$\angle HCB = \angle BAH = \angle BAK = \angle ACK$ dır.
Benzer şekilde $\angle HCA = \angle ABH = \angle ABL = \angle BCL$.
Bu iki eşitliği birleştirirsek $\angle ACL = \angle ACK$ elde edilir. Yani $C$, $L$, $K$ doğrusaldır.
Bu durumda, $CL=12-9=3$ ya da $CL=12+9=21$ değerlerini alacaktır. $\boxed{3+ 21=24}$.
Not: Dikkat edilirse $CKL$ doğrusu $CH$ nin izogonal eşleniğidir. Yani $CKL$ doğrusu $ABC$ nin çevrel merkezi $O$ dan geçer. Bu durumda $O$ nun pozisyonuna göre $CO$ doğrusu $AH$, $BH$ doğrularından (yükseklikler) önce birini sonra diğerini kesecektir. Yani sorudaki iki ihtimal de duruma göre gerçekleşecektir.