Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2016 => Konuyu başlatan: Eray - Haziran 07, 2016, 09:51:54 ös
-
Elimizde $12$ kırmızı ve $12$ beyaz top bulunuyor. Bir doğru üzerindeki $6$ boş kutunun her birine bu toplardan $2$ tanesi, herhangi iki komşu kutuda aynı renkli top bulunması koşuluyla kaç farklı biçimde dağıtılabilir?
$\textbf{a)}\ 204 \qquad\textbf{b)}\ 216 \qquad\textbf{c)}\ 228 \qquad\textbf{d)}\ 239 \qquad\textbf{e)}\ 251$
-
ak k kutulu sorunun cevabını temsil etsin. ( 2k beyaz 2k kırmızı top var )
Bizden istenen durum a6 olsun.
İlk kutu $kk$ ( $bb$ ise de ) ise ikinci kutu $kk$ veya $kb$ olabilir.
eğer $kk$ ise sonraki kutu $kk$ veya $kb$ olabilir
$kk$ ise $kk$ veya $kb$ olur
.....
.....
$kb$ ise a3 tür
eğer $kb$ ise a4 oluyor.
ilk kutu eğer $kb$ ise a5 durum var.
şimdi toplam durum
a6 = a5 + 2*(a4 + a3 +a2+ a1 +a0 + 1(hepsinin aynı olduğu ) )
şeklinde oluyor
a6 = a5 + 2*(a4 + a3 +a2+a1 +a0+ 1)
a5 = a4 + 2*(a3 + a2 +a1 +a0+ 1)
a5 = a3 + 2*( a2+a1 +a0+ 1)
a3 = a2 + 2*(a1 + a0+1)
a2 = a1 + 2*(a0+ 1)
a1 = a0 + 2*(1)
a0= 1
a0=1
a1= 3
a2=7
a3=17
a4=41
a5=99
a6=239
-
Yanıt $\boxed{D}$
Problemi genel halde, $2n$ kırmızı ve $2n$ beyaz topu $n$ kutuya dağıtma şeklinde çözelim. İstenen özellikteki dağıtımların sayısı $a_n$ olsun. Kırmızı ve beyaz topları kısaca $K,B$ ile gösterelim. İlk kutuya $KK$, $KB$, $BB$ dağıtıldığında kalan $n-1$ kutuya istenen özellikte sırasıyla $b_{n-1}$, $c_{n-1}$, $b_{n-1}$ yolla dağıtılsın. $a_{n}$ bu üç ayrık toplamından oluşur.
$$ a_n = 2b_{n-1} + c_{n-1}…(1)$$
Şimdi $b_{n-1}$ i inceleyelim. İkinci kutuya $KK$ veya $KB$ konabileceğinden
$$ b_{n-1} = b_{n-2} + c_{n-2}…(2)$$
olur. Şimdi de $c_{n-1}$ i inceleyelim. İkinci kutuya $KK$ , $BB$ veya $KB$ konabileceğinden
$$ c_{n-1} =2 b_{n-2} + c_{n-2}…(3) $$
olur. (1) ve (3) ten
$$c_{n-1}=a_{n-1}…(4) $$
bulunur. Ayrıca (2) ve (3) ten $2b_{n-1}=c_{n-1}+c_{n-2}$ olup (4) ten dolayı bu denklemi
$$ 2b_{n-1}=a_{n-1}+a_{n-2} …(5) $$
biçiminde yazabiliriz. (4) ve (5) i (1) de kullanırsak
$$ a_{n} =2 a_{n-1} + a_{n-2}…(6) $$
indirgeme bağıntısı elde edilir. $a_1$ için $KK,BB,KB$ durumları olup $a_1=3$ bulunur. $a_2$ için $ \{KK,KB\}$, $\{KK,KK\}$, $\{BB,KB\}$, $\{BB,BB\}$, $\{KB,KB\}$, $\{KB,KK\}$, $\{KB,BB\}$ durumları olup $a_2=7$ dir. (6) dan faydalanarak
$a_3=2a_2+a_1 = 17$
$a_4=2a_3+a_2 = 41$
$a_5=2a_4+a_3 = 99$
$a_6=2a_5+a_4 = 239$ bulunur.