Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2016 => Konuyu başlatan: Eray - Haziran 07, 2016, 09:41:20 ös
-
Kaç $n\in \{12,18,42,60,72\}$ değeri için $1,2,\dots,n$ sayıları herhangi iki komşu sayının toplamı asal olacak şekilde sıraya dizilebilir?
$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$
-
Koşul her şekilde sağlanır ve örneğin 1-80 arasındaki tüm sayılar herhangi iki komşu sayının toplamı asal olacak şekilde şöyle dizilebilir;
\[
\begin{gathered}
1,2,3,4,7,6,5,8,9,10,13,16,15,14,17,\boxed{12},11,\boxed{18},19,22,21,20,23,24,29,30,31,28,25,34, \hfill \\
27,26,33,38,35,32,39,40,43,36,37,\boxed{42},41,48,49,52,45,56,47,50,51,46,55,54,53,44,57,\boxed{60},67, \hfill \\
64,63,68,69,62,65,66,61,70,79,\boxed{72},77,74,75,76,73,78,71,80,..... \hfill \\
\end{gathered}
\]
\[
Cevap:E
\]
-
Daha kolay örnekler mevcut :)
Verilen beş sayının her birinin $1$ fazlası da, $1$ eksiği de asal sayı. Dolayısıyla çift sayıları azalan şekilde dizip, aralarına tek sayıları artan şekilde yerleştirirsek olur. Örneğin $12$ ve $72$ için:
$12,1,10,3,8,5,6,7,4,9,2,11$
$72,1,70,3,68,5,66,7,\cdots8,65,6,67,4,69,2,71$
-
Kesinlikle, birçok farklı ve daha kolay örnek verilebilir. :)
Bende diziye başladıktan sonra kendimi durduramadım ve farklı asallar verecek şekilde devam ettim. Ortaya güzel bi dizi çıktı.. :D
-
Yanıt: $\boxed E$
Cevap: $5$.
$n+1$ ve $n-1$ sayıları asal ise $1,2, \ldots, n$ sayıları herhangi iki komşu sayının toplamı asal sayı olacak şekilde dizilebilir. Dizi $$
n, 1, n-2,3, n-4,5, \ldots, 6, n-5,4, n-3,2, n-1$$ şeklinde olacaktır (dizinin tek numaralı elemanları çift ve çift numaralı elemanları tek sayılardır ve çift sayılar azalan, tek sayılar artan alt dizi oluşturuyor). Bu durumda dizinin herhangi iki komşu elemanının toplamı $n+1$ veya $n-1$ olacaktır.
Kaynak: Tübitak 24. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2016