Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2016 => Konuyu başlatan: Eray - Haziran 07, 2016, 09:40:02 ös
-
Gerçel katsayılı bir $P$ polinomu $P(1)=1$ ve her $x,y$ gerçel sayıları için $P(x)+P(y)=P(x+y)-2xy+1$ koşullarını sağlıyor. Buna göre $P(x)$ in alabileceği en küçük değer nedir?
$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{4} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{3} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{2} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{2}{3} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{3}{4}$
-
Öncelikle sorunun sonundaki ifade '' P(x) in alabileceği en küçük değer nedir ? '' şeklinde değiştirilirse güzel olur, ufak bi hata olmuş :)
\[
P(x) + P(y) = P(x + y) - 2xy + 1
\]
Bu koşulu sağlayan gerçel katsayılı P(x) polinomu eşitliğin sağındaki xy'li ifade dolayısıyla ax2+bx+c formatında yazılabilir.Düzenlersek;
\[
ax^2 + bx + c + ay^2 + by + c = ax^2 + a \cdot 2xy + ay^2 + bx + by + c - 2xy + 1
\]\[
c = a \cdot 2xy - 2xy + 1
\]\[
c = 1\,\,\,\,a = 1\,\,\,\,\,\,
\]\[
P(x) = x{}^2 + bx + 1
\]\[
P(1) = 1\,\,\,\,\,olduğundan;
\]\[
b = - 1\,\,\,olur.
\]\[
P(x) = x^2 - x + 1
\]
P(x)'in alabileceği en küçük değer için P(x)'in türevini alır, 0'a eşitler ve bulduğumuz x değerini ifademizde yerine koyarız;
\[
P'(x) = 2x - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 1/2
\]\[
P(1/2) = 1/4 - 1/2 + 1 = 3/4\,\,\,\,bulunur.
\]
\[
Cevap:\,E
\]
-
Düzeltmeniz için teşekkürler :)
$P(x)=x^2-x+1$ olduğunu bulduktan sonra en küçük değerini bulmak için $P(x)=(x-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}$ şeklinde yazarsak yanıtın $\dfrac{3}{4}$ olduğunu görebiliriz.
-
P(x)+P(y)=P(x+y)-2xy+1
y=1 yazılırsa, P(x)+P(1)=P(x+1)-2x+1
P(x)+1=P(x+1)-2x+1 olacağından,
P(x+1)-P(x)=2x, denkleminde değerler yazılırsa,
P(2)-P(1)=2
P(3)-P(2)=4
P(4)-P(3)=6
…………
P(x)-P(x-1)=2x-2 denklemleri taraf tarafa toplanırsa,
P(x)-P(1)=2+4+6+⋯+2x-2 bulunur.
P(x)=x^2-x+1 bulunur. P(x)=(x-1/2)^2+3/4 olup ,x=1/2 yazılırsa, 3/4 bulunur.
-
Bu çözüm sadece x tamsayıları için geçerli
Cersoy bey
-
Evet. Çözümün tam olması için şu cümle de söylenmeli:
$P$ nin polinom olduğu verildiğinden ve sonsuz $x$ için $x^2-x+1$ değerini aldığından, $P(x)=x^2-x+1$ olmalıdır. Şayet, $Q(x)=P(x)-(x^2-x+1)$ polinomunun sonsuz kökü olması, bu polinomun sıfır polinomu olması gerektiğini gösterir.
-
Güzel bi yorum olmuş ayrıca IMO'da başarılar dilerim.
-
Teşekkür ediyorum, sağolun
-
İlk çözümde $P$ polinomunun derecesinin yalnızca $2$ olabileceği de ispatlanmalıdır. Bunun için $n$ inci dereceden $P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 $ polinomu $ P(x+y) = P(x) + P(y) + 2xy - 1 $ denkleminde yazılırsa
$a_n(x+y)^n + a_{n-1}(x+y)^{n-1} + \cdots + a_1(x+y) + a_0 = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 + a_ny^n + a_{n-1}y^{n-1} + \cdots + a_1y + a_0 + 2xy - 1 $
olur. $n>2$ için sol tarafta oluşan $a_nx^{n-1}y + a_nxy^{n-1}$ terimleri sağ tarafta görülmez. Sağ tarafta $2xy$ terimi vardır. Polinom eşitliği sadece $n=2$ ve $a_n=a_2=1$ için sağlanır.
-
Yanıt $\boxed{E}$
Soruda $P$ nin polinom olduğu verilmeyip sadece sürekli bir fonksiyon olduğu verilse bile yeterlidir. $P$ nin sürekli fonksiyon olduğu zayıflatılmış şartıyla çözümü yapacağım, polinom olduğu bilgisini kullanmayacağım.
Verilen fonksiyonel denklemi sağlayan iki fonksiyon $P$ ve $R$ olsun.
$$ P(x+y)=P(x)+P(y)+2xy-1$$ $$R(x+y)=R(x)+R(y)+2xy-1 $$
denklemlerini taraf tarafa çıkarırsak $(P-R)(x+y)=(P-R)(x)+(P-R)(y)$ olur. $P-R=f$ dersek $f(x+y)=f(x)+ f(y)$ Cauchy fonksiyonel denklemini elde ederiz. $f$ fonksiyonu sürekli olduğundan tüm çözümler $f(x)=cx$ biçimindedir. Dolayısıyla verilen fonksiyonel denklemin herhangi iki çözümü arasındaki fark daima $cx$ tir. Yani $P(x)- R(x)=cx$ olur. Eğer fonksiyonel denklemin bir $R(x)$ özel çözümünü bulursak tüm $P(x)$ çözümlerini de bulabiliriz.
$ R(x+y)=R(x)+R(y)+2xy-1 $ denkleminin bir özel çözümünün $R(x)=x^2 + 1$ olduğunu tahmin edebiliriz. Genel çözüm $P(x)=x^2+cx+1$ dir. $P(1)=1$ için bir başka özel çözüm bulunur. $1+c+1=1$ den $c=-1$ olur. $P(x)=x^2-x+1$ elde edilir. Bu parabolün minimum değeri $P\left( \frac12 \right) = \frac34$ tür.
-
Yanıt : $\boxed {E}$
$P(x)=x^2+1+Q(x)$ olarak yazalım. Denklemde yerine yazarsak $Q(x)+Q(y)=Q(x+y)$ bulunur. Cauchy fonksiyonel denkleminde ötürü $a$ bir reel sayı olmak üzere $Q(x)=ax$ bulunur. $P(x)=x^2+ax+1$ olduğu anlaşılır. $P(1)=a+2=1$ olduğundan $a=-1$ olur. $x^2-x+1$ polinomunun minimum değeri $x=\frac{-(-1)}{2}=\frac{1}{2}$ olduğunda olacağından cevap $\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1=\frac{3}{4}$ bulunur.