Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2016 => Konuyu başlatan: mehmetutku - Haziran 07, 2016, 08:33:27 ös

Başlık: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 12
Gönderen: mehmetutku - Haziran 07, 2016, 08:33:27 ös

İki basamaklı sayılardan oluşan her $\{ a_1,a_2,\ldots,a_n \}$ kümesinin herhangi ikisinin her iki basamağı birbirinden farklı olan $5$ elemanı bulunuyorsa, $n$ en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 38 \qquad\textbf{b)}\ 41  \qquad\textbf{c)}\ 45 \qquad\textbf{d)}\ 51 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 12
Gönderen: Lokman Gökçe - Şubat 28, 2017, 09:27:51 ös

Yanıt $\boxed{B}$

$n=40$ için istenen özelliğin sağlanmadığına dair ters örnek verelim. $\{ 10, 11, 12, \dots , 49 \}$  kümesindeki sayıların onlar basamağındaki rakamlar $1,2,3,4$ ten oluşmaktadır. Dolayısıyla bu $5$ sayı nasıl seçilirse seçilsin güvercin yuvası prensibi gereği en az ikisinin onlar basamağı aynı olur. Yani $n \geq 41$ dir.

(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=5860.0;attach=14981;image)

$n=41$ durumunda daima istenen özellikte $5$ sayı seçilebileceğini ispatlayalım. Önce iki basamaklı tüm sayıları $9 \times 10 $ tabloya yazalım. Bu tablonun $m$ inci satırındaki sayıların onlar basamağı $m$, $n$ inci sütunundaki sayıların birler basamağı $n-1$ dir. Şimdi aynı tablonun birim karelerini $x_1, x_2, \dots, x_{10} $ ile göstereceğimiz $10$ farklı renkle aşağıdaki gibi boyayalım. Hiçbir satırda veya sütunda aynı renk iki kez görülmez. Bu tablodan $41$ kare nasıl seçilirse seçilsin $\lfloor \dfrac{41}{10} \rfloor +1= 5$ kare aynı renkle boyanmıştır. Bu $5$ kare istenen özellikteki sayıları bulundurur.