Yanıt $\boxed{B}$
Eğer tüm karelere taş koyulmuşsa, ortak kenara sahip karelerde farklı renklerde taş olacağından $A$ ve $B$ ile göstereceğimiz iki farklı renkle boyama yapılabilir. Ancak bazı karelere taş konulmamışsa iki rengin yetmeyeceğini gösterelim. Şekildeki gibi $21$ kareye taş koyulmuş olsun. İki renk ile boyamaya başlarsak aşağıdaki desen oluşur. $?$ ile gösterdiğimiz karedeki taşın dört kare solunda $A$ rengi olduğu için $?$ karesini $A$ ile boyayamayız. Ayrıca $?$ karesinin üstündeki karede de $B$ rengi olduğundan $?$ karesindeki taşı $B$ ile de boyayamayız. Böylece $?$ karesi için üçüncü bir $C$ rengi kullanmamız gerektiğini anlarız. $k \geq 3$ tür.
(http://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=5854.0;attach=14983;image)
Genel olarak bir karedeki taşın rengini kısıtlayan iki unsur vardır. Bunlar, o taşın üstündeki ilk taş ile o taşın solundaki ilk taştır. Üstünde ve solunda $A$, $B$ renkli taş bulunan taşı $C$ rengiyle boyarız. Üstünde ve solunda $A$, $C$ renkli taş bulunan taşı $B$ rengiyle boyarız. Üstünde ve solunda $B$, $C$ renkli taş bulunan taşı da $A$ rengiyle boyarız. Elbette üstünde ve solunda aynı renkli, örneğin $A$, $A$ taşları bulunan taşı $B$ ya da $C$ renginden istediğimiz herhangi biriyle boyayabiliriz. $k=3$ tür.