Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 1. Aşama => 2016 => Konuyu başlatan: ArtOfMathSolving - Haziran 07, 2016, 05:34:51 ös
-
$a+b+c+d+e = 0$ koşulunu sağlayan $a,b,c,d,e$ tam sayıları için $a^5+b^5+c^5+d^5+e^5$ ifadesi $15,18,21,30,35$ sayılarından kaçına her zaman bölünür?
$
\textbf{a)}\ 1
\qquad{b)}\ 2
\qquad{c)}\ 3
\qquad{d)}\ 4
\qquad{e)}\ 5
$
-
ilk olarak a=4 b=c=d=e=-1 değerine bakalım hesaplarsak 1020 olur.7 ve 9 a bölünmez bundan dolayı 18 21 ve 35 sağlamaz.
bize verilen ifadeye S diyelim şimdi fermat teoreminden S 5 modunda a+b+c+d+e ye denktir ve bu da 0 a eşit olduğundan ifade her zaman 5 e bölünür
S 2 modunda a+b+c+d+e ye denktir ve bu da 0 olduğundan ifade her zaman 2 ile bölünür
S 3 modunda fermat teoreminden a+b+c+d+e ye denktir ve aynı şekilde bu da 0 olduğu için S 3 ile bölünür
bu verilere ortak bakıldığında S 2,3 ve 5 ile bölündüğü için 30 a da bölünür ve 30 a bölünen bir sayı 15 e de bölünür
Bundan dolayı 2 tanesine her zaman bölünür
-
Yanıt: $\boxed{B}$
$a=2$, $b=1$, $c=d=e=-1$ alırsak $a+b+c+d+e=0$ ve $T=a^5 +b^5+c^5+d^5+e^5=30$ olur. Böylece $18 \nmid T$, $21 \nmid T$, $35 \nmid T$ elde edilir. $a+b+c+d+e$ ile $T=a^5 +b^5+c^5+d^5+e^5$ sayılarının pariteleri aynı olduğundan $2\mid T$ dir. Test mantığı ile ve verilenlere göre $15\mid T$ olması gerektiğini anlarız. Çünkü $3\nmid T$ veya $5\nmid T$ olması durumunda $30\nmid T$ olurdu ve $T$ toplamı verilen sayıların hiçbirine bölünmezdi. O halde $2\mid T$ ve $15\mid T$ olup $30\mid T$ dir.
Ayrıca $3\mid T$ ve $5\mid T$ olduğu (yukarıdaki çözümde verildiği gibi) Fermat teoreminden kolayca kanıtlanabilir.