Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: MATSEVER 27 - Haziran 04, 2016, 08:10:11 ös

Başlık: Dizi Problemi
Gönderen: MATSEVER 27 - Haziran 04, 2016, 08:10:11 ös

$\displaystyle \sum^{2015}_{n=0}a_n\cdot \frac{1}{5^n}<\sqrt{5}$    ve  her $n=0,1,2,\cdots,2015$ için $a_n$ tam olarak $n+1$ farklı sayının kareleri toplamı şeklinde ifade edilebilir.

koşulunu sağlayan ve pozitif tamsayılardan oluşan bir $a_n$ dizisi bulunabilir mi?

(Mehmet Berke İşler)

Başlık: Ynt: Dizi Problemi
Gönderen: Buğra Doğan - Haziran 05, 2016, 07:53:09 ös

Benim çözümüm şu şekilde;

\[\sum\limits_{n = 0}^{2015} {a_n } .\frac{1}{{5^n }} \prec \sqrt 5 \, \] ve her n=0,1,2,...,2015 için a_n tam sayı olarak n+1 farklı sayının kareleri toplamı şeklinde ifade edilebilen ve pozitif tam sayılardan oluşan bir dizinin olup olmadığına bakmak için ifademizi önce düzenleyelim;
\[
\sum\limits_{n = 0}^{2015} {a_n } .\frac{1}
{{5^n }} \prec \sqrt 5
\]
\[
\frac{{a_0 }}
{1} + \frac{{a_1 }}
{5} + \frac{{a_2 }}
{{25}} + ... + \frac{{a_{2015} }}
{{5^{2015} }} \prec \sqrt 5
\]
\[
5^{2015} a_0  + 5^{2014} a_1  + 5^{2013} a_2  + ... + a_{2015}  \prec \sqrt 5  \cdot 5^{2015}
\]
ve soruda a₀'ın 1, a₁'in 2, a₂'nin 3,..,a₂₀₁₅'in 2016 adet farklı sayının kareleri toplamı şeklinde ifade edilebildiğini biliyoruz ve bu farklı rakamları x,y,z,..,q şeklinde harflendirelim;
Mesela; a₀= x², a₁=x²+y², a₂=x²+y²+z²,... şeklinde olduğunu düşünelim ve düzenleyelim;
\[
5^{2015} x^2  + 5^{2014} (x^2  + y^2 ) + 5^{2013} (x^2  + y^2  + z^2 ) + ... \prec 5^{2015} \sqrt 5
\]
bu denklemi sağlayan ve pozitif tam sayılardan oluşan a_n dizisi olabilmesi için eşitsizlik sağlamalı ve sol taraftaki toplam değerinin garanti şekilde eşitsizliği sağlaması içinde öncelikle x² alabileceği en küçük değeri almalı şeklinde düşünelim ve x=0 kabul edersek denklem;
\[
5^{2014} y^2  + 5^{2013} (y^2  + z^2 ) + ... \prec 5^{2015} \sqrt 5
\]
a_n'li terimler pozitif tamsayı olacağından ve a₁'in de pozitif olabilmesi için x²+y²de yalnız kalan y² sebebiyle y'yi de 0'dan sonraki en küçük pozitif tam sayı olacak şekilde seçmek zorundayız.Toplamların pozitif tam sayı olabilmesi koşuluyla diğer sayılarda da bu kurala uyarız ve sırayla 0,1,4,9,16 şeklinde kareler uygulanmış olur;
\[
1 \cdot (5^{2014}  + 5^{2013}  + ... + 1) + 4 \cdot (5^{2013}  + 5^{2012}  + ... + 1) + 9 \cdot (5^{2012}  + 5^{2011}  + ... + 1) + ... + 2015^2  \cdot (1) \prec 5^{2015}  \cdot \sqrt 5
\]
\[
\sum\limits_{k = 1}^n {r^{n - 1} }  = \frac{{1 - r^n }}
{{1 - r}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sum\limits_{k = 1}^n {k^2 }  = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}
{6}
\]
formüllerini kullarak eşitsizliğin sağlanabilirliğini kontrol edebiliriz ve sağlayabilecek en alt tabandan bir pozitif tamsayılar dizisinin olup olmadığına dair fikir elde edebiliriz;
\[
(\frac{{1 - 5^{2015} }}
{{1 - 5}}) + 4 \cdot (\frac{{1 - 5^{2014} }}
{{1 - 5}}) + 9 \cdot (\frac{{1 - 5^{2013} }}
{{1 - 5}}) + ... \prec 5^{2015}  \cdot \sqrt 5
\]
\[
\frac{1}
{4} \cdot \left[ {( - 1 - 4 - 9 - ... - 2015^2 ) + (5^{2015}  + 4 \cdot 5^{2014}  + 9 \cdot 5^{2013}  + ...)} \right] \prec 5^{2015}  \cdot \sqrt 5
\]
\[
( - \frac{{2015 \cdot 277 \cdot 4031}}
{3}) + \frac{1}
{4}(5^{2015}  + 4 \cdot 5^{2014}  + 9 \cdot 5{}^{2013} + ...) \prec 5^{2015}  \cdot \sqrt 5
\]
\[
(5^{2015}  + 4 \cdot 5^{2014}  + 9 \cdot 5{}^{2013} + ...) \prec 5^{2015}  \cdot 4\sqrt 5  + \frac{{2015 \cdot 277 \cdot 4031 \cdot 4}}
{3}
\]
\[
5^{2015}  \cdot (1 + \frac{4}
{5} + \frac{9}
{{25}} + \frac{{16}}
{{125}} + ...) \prec 5^{2015}  \cdot 4\sqrt 5  + \frac{{2015 \cdot 277 \cdot 4031 \cdot 4}}
{3}
\]
Üstteki eşitsizliğimizi yorumlamak istersek, eşitsizliğin solundaki ifadede bulunan parantez içerisindeki toplama benzer, daha hızlı ve benzer büyüyen hatta sonsuza giden (seri) örneği vermek daha kolay yorumlamamıza yardımcı olabilir örneğin;
\[
\sum\limits_{n = 0}^\infty  {(\frac{4}
{5})^n }  = (1 + \frac{4}
{5} + \frac{{16}}
{{25}} + \frac{{64}}
{{125}} + ...) = 5
\]
Anlarız ki eşitsizliğimizin sol kısmındaki parantezimiz;
\[
(1 + \frac{4}
{5} + \frac{9}
{{25}} + \frac{{16}}
{{125}} + ...\frac{{2015^2 }}
{{5^{2015} }}) \prec 5 \prec 4\sqrt 5
\]
Böylece eşitsizliğimizin sağlamış olduğunu ve pozitif tam sayılardan oluşan bir a_n dizisinin bulunabileceğini anlıyoruz.
(Çözümüm hatalıysa veya eksik yerler varsa affola.)

Başlık: Ynt: Dizi Problemi
Gönderen: MATSEVER 27 - Haziran 05, 2016, 09:10:16 ös

Çok güzel bir çözüm takdir ederim. Oldukça beğendim.

Kendi çözümümü sunuyorum:  İddiamız şu ki $a_n=\dbinom{2n}{n}$ şartımızı sağlar.

$\dbinom{2n}{n}=\dbinom{n}{0}^2+\dbinom{n}{1}^2+\cdots+\dbinom{n}{n}^2$ olduğundan $a_n$ tam olarak $n+1$ farklı sayının kareleri toplamı şeklinde yazılabilir.

İddia 2. $\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0}\binom{2n}{n}\cdot \frac{1}{5^n}=\sqrt{5}$ gösterirsek ispat biter.

Bunun ispatını da https://www.artofproblemsolving.com/community/c216384h1251757_infinite_series_sum adresinde bulabilirsiniz.

Başlık: Ynt: Dizi Problemi
Gönderen: Buğra Doğan - Haziran 06, 2016, 07:05:09 ös

Çok teşekkür ederim. İnceleyeceğim.  :)