Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: Eray - Mayıs 27, 2016, 10:24:42 ös
-
Bir $ABCD$ kirişler dörtgeninde $\triangle BCD$ nin diklik merkezi $H_a$, $\triangle ACD$ nin diklik merkezi $H_b$, $\triangle ABD$ nin diklik merkezi $H_c$, $\triangle ABC$ nin diklik merkezi $H_d$ olmak üzere $H_a$, $H_b$, $H_c$, $H_d$ noktalarının çembersel olduğunu gösteriniz.
-
(Mehmet Utku Özbek)
Lemma: Bir $ABC$ üçgeninde diklik merkezi $H$, çevrel çember merkezi $O$ ve $O$ dan $BC$ ye inilen dikmenin ayağı $M$ olmak üzere $AH=2OM$ dir. İspatı Euler doğrusuyla kolayca yapılabilir.
İddia: $ABCD$ ile $H_{a}H_{b}H_{c}H_{d}$ dörtgenleri eştir.
İspat: $BH_c$ ve $CH_b$, $AD$ ye diktir. O zaman $BH_{c} \parallel CH_b$ dir. Çevrel çemberin merkezine $O$ diyelim. $O$ dan $AD$ ye inilen dikme ayağı $M$ olsun. $\triangle ACD$ ve $\triangle ABD$ üçgenlerinin $AD$ kenarı aynı olduğu için lemma gereği $CH_b=2OM=BH_c$ olur. O zaman $CH_{b}H_{c}B$ paralelkenardır. Dolayısıyla $H_{b}H_{c}=BC$ olur.
Benzer yöntemi uygulamaya devam edersek $H_{b}H_a=AB$ , $H_{a}H_d=AD$ ve $D_{c}D_d=CD$ bulunur. Sonuç olarak $ABCD$ ile $H_{a}H_{b}H_{c}H_{d}$ dörtgenleri eştir.
Bu da $H_{a}H_{b}H_{c}H_{d}$ dörtgeninin de çembersel olduğunu gösterir. İspat biter.
-
İki dörtgenin aynı kenarları birbirine paralel olduğu için ve kenar uzunlukları eşit olduğu için bu dörtgenler eştir.
-
Evet haklısınız fark edememişim. İlginiz için de nacizane teşekkür ederim. :)
-
Ne demek :)
-
Lemma'da geçen diklik merkezleri ile $ABCD$ nin eş olduğunun ispatlanması 1985 Balkan mat Olimpiyatı'nda sorulmuştur. Bu problemin benzer uygulamaları forumda paylaşıldı. Lemma'nın ispatı kayda değerdir.