Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Genç Takım Seçme => 2016 => Konuyu başlatan: MATSEVER 27 - Mayıs 23, 2016, 07:57:43 öö
-
Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $A$ ve $C$ köşelerinden geçen yüksekliklerin ayakları sırasıyla $D$ ve $E$ dir. $E$ den geçen ve $BC$ ye paralel olann doğru $AC$ doğrusunu $F$ de, $D$ den geçen ve $AB$ ye paralel olan doğru $AC$ doğrusunu $G$ de kesiyor. $F$ den $DG$ ve $GE$ doğrularına inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $K$ ve $L$ olmak üzere $KL$ doğrusu $ED$ doğrusunu $M$ de kesiyor. Buna göre $FM \perp ED$ olduğunu gösteriniz.
(Şahin Emrah)
-
(Mehmet Utku Özbek)
$\angle DEF=\alpha$ olsun. Paralellikten $\angle EDB=\alpha$ olur. $AEDC$ kirişler dörtgeni olduğu için $\angle EAC=\alpha$ olur. Yine paralellikten $\angle DGF=\alpha$ olur. Sonuç olarak $\angle DEF=\angle DGF$ olur. Yani $EGFD$ bir kirişler dörtgenidir.
Bir üçgenin çevrel çemberinin üstünde alınan herhangi bir noktadan bu üçgenin kenarlarının belirttiği doğrulara inilen dikme ayakları doğrudaştır. Bu doğruya Simson Doğrusu denir.
O zaman $EGFD$ çemberinde $LK$ Simson Doğrusudur. Dolayısıyla $FM \perp ED$ dir. İspat biter.