Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: FEYZULLAH UÇAR - Mayıs 15, 2016, 02:21:09 ös
-
Hep beraber çözümleri buraya yazalım arkadaşlar.
-
4.soru
-
7.soru
-
13.soru
-
15.soru
-
19.soru
-
5.soru çözüm
Beş basamaklı sayımız aabcd olsun. rakamların hiç biri 0 olamaz
aabcd 60 farkı şekilde sıralanır.
rakamları çarpımı 84 olduğundan
84=3.7.4.1=6.7.2.1 şekilde yazılabilidiği için
60*8 =480 şekilde yazılır.
-
$17.$ soru
$d_{1}.d_{12}=d_{2}.d_{11}=d_{n}.d_{13-n}$ olduğunu biliyoruz. $d_{6}=12$ demek ilk beş böleninin $1,2,3,4,6$ olması demektir. O zaman $d_2=2$ dir. Dolayısıyla $d_8=46$ olur. $d_5=6$ olduğunu da biliyoruz. Dolayısıyla $d_5.d_8=276=d_1.d_{12}=d$ dir. Buradan $d=276$ gelir ve rakamları toplamı $15$ tir.
-
$1.$ soru
Kazanana $k$ lira kaybedene ise $m$ lira verildiğini farz edelim. Ve Hakan'ın kazandığı oyun sayısına $x$ diyelim. Dolayısıyla Mete $x$ oyun kaybetmiştir. Mete $3$ oyun kazandığı için de Hakan da $3$ oyun kaybetmiştir. Paraları hesaplarsak $x.k+3.m=280$ ve $3.k+x.m=175$ bulunur. Bu iki eşitliği hem taraf tarafa çıkarıp hem de toplayıp yazarsak $(x-3)(k-m)=105$ ve $(x+3)(k+m)=455$ denklemleri elde edilir. $105=3.5.7$ ve $455=13.7.5$ tir. $x-3$ ve $x+3$ çarpanları arasında $6$ fark var. Dolayısıyla $x-3=7$ ve $x+3=13$ olmalı. Buradan $k-m=15$ ve $k+m=35$ bulunur. Taraf tarafa toplarsak $k=25$ bulunur.
-
$8.$ soru
Menaleustan $\dfrac{BC}{BD}.\dfrac{DN}{NA}.\dfrac{AE}{EC}=1$ ve $BC=CD$ bulunur. Açıortaydan $\dfrac{12}{AM}=\dfrac{BD}{DM}$ bulunur. Yani $BD=6$ olur $BC=3$ bulunur.
-
$6.$ soru
Kitap türleri $a,b,c,d$ olsun. Gökhan'ın aldığı kitap sayısını bulsak yeter. $a+b+c+d=12$ denkleminin $0 \leq a,b,c,d \leq 6$ olması şartıyla çözüm sayısını bulmalıyız. Bütün çözümlerden sağlamayanları çıkaralım. Bütün çözümler $\dbinom{12+4-1}{4-1}=\dbinom{15}{3}=455$ tir. $a=7+k$ yazalım. Daha sonra aynı şey $b,c,d$ için de geçerli olacağından $4$ ile çarpabiliriz. $k+b+c+d=5$ in çözüm sayısı $\dbinom{5+4-1}{4-1}=\dbinom{8}{3}=56$ dır. $56.4=224$ tür. Cevap $455-224=231$ dir.
-
$18.$ soru
Üçgenin en küçük kenarları $a$ ve $a+1$ olsun. En büyük kenarı $b$ olsun. $\dfrac{2a+1+b}{2}-1=b$ den $b=2a-1$ çıkar. Alanı tamsayı demiş. $u=2a$ dır. Heron formülünden $A=\sqrt{2a.1.a.(a-1)}=a\sqrt{2a-2}$ dir. Dolayısıyla $2a-2$ nin çift bir tamkare olması lazım. Çevrenin $500$ den küçük olması için $a \lt 125$ olması gerek. O zaman $2a-2 \lt 248$ olur. Alabileceği çift tamkare değerlerin sayısı $4,16,36,64,100,144,196$ olmak üzere $7$ tanedir. Bunlar incelenirse $2a-2=64,100,144,196$ için çevrenin $100$ den büyük olduğu görülür. Cevap $\tfrac{4}{7}$
-
$2.$ soru
$TAB,TBA,ABT,ATB,BTA,BAT$ sıralamalarının sayısına sırayla $x,y,z,k,l,m$ diyelim. $x+y+z+k+l+m=25$ tir. $x+l+y=19$ , $z+l+m=12$ ve $k+z+x=11$ bulunur. Her sıralama en az iki kere yazılmış dediği için $(x,y,z,k,l,m)=(a+2,b+2,c+2,d+2,e+2,f+2)$ dönüşümü yapabiliriz. $a+b+e=13$ , $c+e+f=6$ ve $a+c+d=5$ yazabiliriz. $a+b+c+d+e+f=13$ tür. $a+b+e=13$ bulmuştuk. O zaman $c,d,f=0$ dır. $a=5$ , $e=6$ ve $b=2$ bulunur. Bizden istediği şey $l+m=e+2+f+2=10$ bulunur.
-
$12.$ soru
$a+b=c$ ve $a,b,c$ asal sayı demek $a$ veya $b$ nin $2$ olması demektir.
$b=2$ olsun. $c-a=2$ ve $b-a-2=-a$ olur. İfade $-2a-37a+1$ e döner. $-39a+1$ in tamkare olması için $a\leq 0$ olması gerek. Bu da $a$ nın asallığıyla çelişir. Çözüm gelmez.
$a=2$ olsun. $c-a=b$ ve $b-a-2=b-4$ olur. İfade $b(b-4)-73$ e döner. $b^2-4b+4-77=x^2$ yazıp iki kare farkı yaparsak $(b-2+x)(b-2-x)=77$ olur. Buradan $b=11$ ve $b=41$ çözümleri gelir. $c=13$ ve $c=41$ olur.
Dolayısıyla toplam $2$ çözüm vardır.
-
$25.$ soru
$ADC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ olsun. Çemberin $BD,DC,BC$ kenarlarına değdiği noktalar sırasıyla $K,L,M$ olsun. İç çemberin yarıçapına $2a$ diyelim. $IKDL$ karedir ve bir kenarı $2a$ dır. $BI$ nın $DC$ yi kestiği nokta $P$ olsun. $BI=2IP$ olduğu için $LP=a$ olur ve $BK=BM=4a$ olur. $BDC$ üçgeninde pisagor yaparsak $MC=LC=6a$ ve $PC=5a$ olur. Dolayısıyla $AD=2a$ olur. $BAD$ üçgeninde pisagor yaparsak $4=40a^2$ den $a=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ olur. $AC=10a=\sqrt{10}$ bulunur.
-
$2.$ soru
$TAB,TBA,ABT,ATB,BTA,BAT$ sıralamalarının sayısına sırayla $x,y,z,k,l,m$ diyelim. $x+y+z+k+l+m=25$ tir. $x+l+y=19$ , $z+l+m=12$ ve $k+z+x=11$ bulunur. Her sıralama en az iki kere yazılmış dediği için $(x,y,z,k,l,m)=(a+2,b+2,c+2,d+2,e+2,f+2)$ dönüşümü yapabiliriz. $a+b+e=13$ , $c+e+f=6$ ve $a+c+d=5$ yazabiliriz. $a+b+c+d+e+f=13$ tür. $a+b+e=13$ bulmuştuk. O zaman $c,d,f=0$ dır. $a=5$ , $e=6$ ve $b=2$ bulunur. Bizden istediği şey $l+m=e+2+f+2=10$ bulunur.
$x+y+l=19 \Longrightarrow z+k+m=6 \Longrightarrow z=k=m=2$
$z+l+m=12 \Longrightarrow l+m=10$
-
14.
Ana Denklemde $x\rightarrow 1$ koyalım,
$f(1)+f(-3)=-4$ $(1) $ bulunur. Şimdi de $x \rightarrow -3$ koyalım.
$5f(1)+f(-3)=12$ $(2) $ bulunur. $(1)$ ile $(2)$'yi toplayalım. $f(1)=4$ elde edilir.
Şimdi $f(x)$ fonksiyonunu bulmak için $x\rightarrow \dfrac{2x+1}{x-2}$ koyalım.
$\dfrac{5}{x-2}f(1)=f(\dfrac{2x+1}{x-2})+4(\dfrac{2x+1}{x-2}) \Rightarrow \dfrac{16-8x}{x-2} =f(\dfrac{2x+1}{x-2})$ bulunur. Bunu ana denklemde yerine yazarsak,
$f(x)=3x+1\Rightarrow \left\lfloor f(17,71)\right\rfloor=\left\lfloor 53,13+1 \right\rfloor = \left\lfloor 54,13\right\rfloor = 54$ bulunur.
$Düzeltildi.$
-
14.
$f(x)+4x=(x-2).f(\dfrac{2x+1}{x-2})$ , $ x→\dfrac{2x+1}{x−2}$ yazalım
$f(\dfrac{2x+1}{x-2})+4.\dfrac{2x+1}{x-2}=(\dfrac{2x+1}{x-2}-2).f(x) \Longrightarrow$
$f(\dfrac{2x+1}{x-2})=(\dfrac{5}{x-2}).f(x)-\dfrac{8x+4}{x-2}$
İlk denklemde yerine yazalım:
$f(x)+4x=5.f(x)-8x-4 \Longrightarrow f(x)=3x+1$ Buradan $f(17,71)=54,13$ gelir yani tam kısmı $54$'tür.
-
16.
$x^{12}\equiv 13 \pmod {23} \Rightarrow x^{12}\equiv 36 \equiv x^6 \equiv 6 \equiv 121\equiv x^3 \equiv 11 \equiv 1000 \Rightarrow |x|\equiv 10 \pmod {23} $
$|x|=23k+10,k\in \mathbb{Z} \Rightarrow -3 \le k \le 3 \Rightarrow k={-82,-59,-36,-13,10,33,56,79}$ çözümleri elde edilir.
-
16.
$x^{12}\equiv 13 \pmod {23} \Rightarrow x^{12}\equiv 36 \equiv x^6 \equiv 6 \equiv 121\equiv x^3 \equiv 11 \equiv 1000 \Rightarrow |x|\equiv 10 \pmod {23} $
$|x|=23k+10,k\in \mathbb{Z} \Rightarrow -3 \le k \le 3 \Rightarrow k={-82,-59,-36,-13,10,33,56,79}$ çözümleri elde edilir.
modüler gösterimde sadeleştirme yapılmaz bu soru için bi yanlış yok ama herzaman doğru olmayabilir aklınızda bulunsun :)
-
20.
$4,5,6$ üçgeni bir $\alpha,2\alpha$ üçgenidir yani $6$ kenarını gören açı $4$ kenarını gören açının $2$ katıdır.
$2.m(\widehat{ACB})=m(\widehat{BAC})=2\alpha$ $\Longrightarrow$ $m(\widehat{ABE})=m(\widehat{EBD})=m(\widehat{DBC})=60^\circ-\alpha$ $\Longrightarrow$ $m(\widehat{BDA})=60^\circ$
-
10.soru eşlik
Lütfen resim boyutuna dikkat edelim.Ayrıca çözülmemiş sorulara çözüm yollanırsa daha memnun oluruz.Teşekkürler
-
7.
Türevden de kolayca bulunabiliyor
-
21.
(19^k)/k!+(91^k)/k! İfadesinde ,birinci kesir k=1,2,...,19 a kadar artan ve k>19 için azalandır.
İkinci kesir k=1,2,....,90 için artandır.k=90 ve k=91 için eşit olurlar.
Birinci kesir k>90 için de azalan olduğundan.
Eklendiğinde 90. Terim 91. Terimden büyük olur.
Dolayısıyla 90. Terim en büyük terim olur.
-
24
P(x)=ax²+bx+c alınır istenenler yazılırsa
(4x²+1)(2x-1)[a(4x²+1)(2x+1)+b]≥0
Her x reel sayısı için saglaması için Tek kök olmalı oda x=1/2
Ve -b/a=(4x²+1)(2x+1)=4
-
11.soru için
Uygun katsayılarla çarpıp toplanırsa
193<(x+1)^6<319
eşitsizliğini sağlayan bir x sayısı
1<x<3 aralığındadır.
m=6 içinde sağlar.benzer durum m=7 içinde sağlar.
Nerede hata yaptığımı bulamadım.:)
-
11.soru için
Uygun katsayılarla çarpıp toplanırsa
193<(x+1)^6<319
eşitsizliğini sağlayan bir x sayısı
1<x<3 aralığındadır.
m=6 içinde sağlar.benzer durum m=7 içinde sağlar.
Nerede hata yaptığımı bulamadım.:)
3<x^3<5 diyor
Bunun karesini alınca
9< x^6 < 25 oluyor ama kurala göre
X^6 küçüktür 8 di yani olmuyor
-
Üs alarak değil.uygun katsayılarla genişleterek
2<2x<6
2<x²<4 ise 4<x²+2x<10 bir eklersek
5<(x+1)²<11
.
.
-
11
Ek
-
Alimmm beyefndinin dediği doğru sizin bulduğunuz eşitsizliği sağlayan bir x sayısının varlığından emin olamazsınız.
-
İlginiz için teşekkür ederim.
x=1,4
.
.
x=1,5
Denendiginde m<6 olduğu anlaşılıyor ama garanti bir çözüm lazım
-
İlginiz için teşekkür ederim.
x=1,4
.
.
x=1,5
Denendiginde m<6 olduğu anlaşılıyor ama garanti bir çözüm lazım
$3 < x^3 < 5 $ -----> $ 9 < (x^3)^2 < 25$
$6 < x^6 < 8 $
bu iki durum üsttekinin karesini alarak bakınca aynı anda sağlanamadığı görünüyor.
m=5 için örnek durum bulursak cevap o olur
x=1.46 için
sağlıyor
(http://i.hizliresim.com/2ZQZzN.png)
-
8-)http://img.ctrlv.in/img/16/05/20/573f350bc70b4.png (http://img.ctrlv.in/img/16/05/20/573f350bc70b4.png)
10-)http://img.prntscr.com/img?url=http://i.imgur.com/BnMQq5n.png
20-)http://img.prntscr.com/img?url=http://i.imgur.com/SOUpprX.png
22-)http://img.ctrlv.in/img/16/05/20/573f35a44c140.png
25-)http://img.ctrlv.in/img/16/05/20/573f35ced3013.png
Ayhan YANAĞLIBAŞ a aittir.
-
20. Sorudaki benzerlği açıklayabilirmisiniz.
-
20. Sorudaki benzerlği açıklayabilirmisiniz.
soruda 4-5-6 üçgeninin 2x e x açıları olduğunu bilmek gerekiyor galiba
o da buradan görünüyor
http://i.hizliresim.com/X4YPPO.png
-
farklı bir bakış açısı
-
Soru 23
-
4-5-6 üçgeni sorusu için
-
9.soru