Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: MATSEVER 27 - Mayıs 01, 2016, 03:55:44 ös
-
$a+b+c=3$ eşitliğini sağlayan bütün $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\sqrt{\frac{a}{bc}}+\sqrt{\frac{b}{ca}}+\sqrt{\frac{c}{ab}} \ge a^2b+b^2c+c^2a$$
olduğunu gösteriniz.
(MatSever 27)
-
ispatlamamız gereken ifade,
$a+b+c\ge a^2b+b^2c+c^2a$ dır. Şimdi Bunu düzenleyelim,
$(a-a^2b)+(b-b^2c)+(c-c^2a)\ge 0 \Rightarrow a(1-ab)+b(1-bc)+c(1-ac)\ge 0$
$\begin{align*}\sum_{cyc}a(1-ab)=\sum_{cyc}b^2+bc-3b+1\end{align*}$ Ve buradan $a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc\ge 6$ olduğunu ispatlamak kalıyor.
Aritmatik-Geometrik ortalama eşitsizliğinden $a^2+b^2+c^2\ge 3, ab+ac+bc=3 $ bulunur. taraf tarafa toplarsak, istediğimizi elde ederiz, İspat biter.$\blacksquare$