Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Genç Takım Seçme => 2015 => Konuyu başlatan: Eray - Nisan 26, 2016, 11:18:11 ös
-
$p$ ve $q$ toplamları $3$ ile bölünmeyen asallar, $r$ ve $n$ birer pozitif tam sayı olmak üzere,$$p + q = r (p − q)^n$$eşitliğini sağlayan tüm $(p,q,r,n)$ dörtlülerini bulunuz.
(Şahin Emrah)
-
$p,q$ dan hiçbiri $3$ ile bölünmesin. O halde $3 \nmid p+q$ olduğundan $p \equiv q \pmod3$ olması gerekir. Ancak o zaman da $3 \mid p+q$ olması gerekir. Çelişki! O halde en az biri $3$ olmalıdır.
$p>q$ olduğu aşikardır. $q=3$ olmalı. $p+3=r(p-3)^n$ eşitliği sağlanmalı. $p=5$ için $(5,3,1,3),(5,3,2,2),(5,3,4,1)$ sağlar. $p=7$ için çözüm yoktur. $p>7$ kabul edelim. $r \ge 2$ olsun. $r(p-3)^n \ge 2(p-3) \ge p+3$ olduğundan $r \ge 2$ için çözüm yok. $r=1$ için $p>7$ ve $p+3=(p-3)^n$ eşitliği sağlanıyor. $n=1$ için çözüm yok. $n \ge 2$ için $p+3 \ge (p-3)^2$ olmalı. $0 \ge p^2-7p+6=(p-1)(p-6) >0$ olması gerekir. Çelişki!
O halde çözümler $(5,3,1,3),(5,3,2,2),(5,3,4,1)$.
-
Ancak p=3 durumundan 3+q=r.(3-q)n olur q=2 ise r=5 sağlar. (3,2,5,n)
q 2 den büyük ise n çift bir sayı olmalıdır eğer tek olsaydı
(p-q)n negatif olurdu.
Buradan (q-3)2 3+q dan büyük olma durumunda (q-6)(q-1) 0 dan büyük olmalıdır. q 6 dan.büyük ise Çelişki!
q=5 ise (3,5,2,2) sağlar
q=3 durumundan ise (p+3)=(p-3)n.r (p-6)(p-1) 0 dan büyük olduğundan sağlanmaz(p 6 dan büyük ise).
p 6 dan küçük ise p=5 (5,3,1,3),(5,3,2,2),(5,3,4,1)
p=2 den ise 5=(-1)n.r. buradan (2,3,5,2k) sağlar