Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı => 2016 => Konuyu başlatan: Eray - Nisan 13, 2016, 06:13:27 ös

Başlık: Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2016 Soru 2
Gönderen: Eray - Nisan 13, 2016, 06:13:27 ös

Bir $ABCD$ kirişler dörtgeninin $AC$ ve $BD$ köşegenleri $X$ noktasında kesişiyor. $CX$, $DX$ ve $CD$ doğru parçalarının orta noktaları sırasıyla $C_1$, $D_1$ ve $M$ olsun. $AD_1$ ve $BC_1$ doğruları $Y$ noktasında kesişiyor. $MY$ doğrusu $AC$ ve $BD$ köşegenlerini sırasıyla birbirinden farklı $E$ ve $F$ noktalarında kesiyor. $XY$ doğrusunun $E$, $F$ ve $X$ noktalarından geçen çembere teğet olduğunu gösteriniz.

Başlık: Ynt: Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2016 Soru 2
Gönderen: matematikolimpiyati - Temmuz 19, 2022, 06:10:56 öö

(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=5711.0;attach=15980)

$C_1D_1 // CD\ \implies m(\widehat{BAC})=m(\widehat{BDC})=m(\widehat{BD_1C_1}) \implies\ A,B,C_1,D_1$ çemberseldir ve bu çemberden $m(\widehat{D_1AC_1})=m(\widehat{D_1BC_1})$ yazabiliriz.

$\triangle{YC_1D_1} \sim \triangle{YAB} \implies \dfrac{YC_1}{YA}=\dfrac{C_1D_1}{AB} \tag{1}$

$\triangle{XC_1D_1} \sim \triangle{XBA} \implies \dfrac{C_1D_1}{AB}=\dfrac{XD_1}{XA}=\dfrac{MC_1}{XA} \tag{2}$

$(1)$ ve $(2)$ den $\dfrac{YC_1}{YA}=\dfrac{MC_1}{XA} \implies \triangle{YAX} \sim \triangle{YC_1M} \implies m(\widehat{AYX})=m(\widehat{C_1YM})$ elde ederiz.

Son olarak $m(\widehat{YXE})=m(\widehat{D_1AC_1})+m(\widehat{AYX})=m(\widehat{D_1BC_1})+m(\widehat{C_1YM})=m(\widehat{EFX})$ buluruz ve bu da bize $XY$ doğrusunun $E, F ,X$ noktalarından geçen çembere teğet olduğunu gösterir.