Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: MATSEVER 27 - Şubat 28, 2016, 06:10:03 ös
-
Tüm $n$ pozitif tamsayıları için $a^n+b^n+1$ sayısı bir $d\ge2$ ile bölünecek şekilde bir $d$ tamsayısı bulunması sağlayan tüm $a,b$ tamsayı sabitlerini bulunuz.
-
$d$ asal değilse $d$'yi $d$'nin bir asal böleniyle değiştirebileceğimiz için $d$'yi asal kabul edebiliriz. $d=p$ olsun.
$a$ ve $b$'nin biri tek diğeri çift olursa $a^n+b^n+1$ her zaman çift olacağından $p=2$ seçilebilir. Bu yüzden bu durumun sağlanmadığını varsayalım, yani $a$ ve $b$ aynı anda tek veya aynı anda çift olsun. Bu durumda $p$ tek olacaktır.
$a^{p-1}$ ve $b^{p-1}$ sayıları, $0,0$; $1,0$ veya $1,1$ kalanları verebilir. Dolayısıyla, $$a^{p-1}+b^{p-1}+1\equiv 1,2,3\pmod{p}$$ olacaktır. Sonuç olarak da $p=2$ veya $p=3$ bulunur. $p$'yi tek kabul ettiğimizden $p=3$ olacaktır. $a^n+b^n+1$'in her zaman $3$ ile bölünmesini istiyoruz. Eğer $a,b$'den bir tanesi $3$'e bölünüyorsa $a+b+1\equiv 1,2\pmod{3}$ olacağından $3\nmid a,b$ olmalıdır. $$a+b+1\equiv 0\pmod{3}\implies a+b\equiv 2\pmod{3}$$ olduğundan $a\equiv b\equiv 1\pmod{3}$ olmalıdır. Gerçekten de bu durumda $a^n+b^n+1$ her zaman $3$ ile bölünür.
Sonuç olarak $a$ ve $b$ farklı paritedeyse veya $a\equiv b\equiv 1\pmod{3}$ ise böyle bir $d$ vardır. Diğer durumlarda, böyle bir $d$ yoktur.