Tanım [Harmonik Bölme]: Bir doğru üzerinde $A$ ve $B$ gibi iki nokta alalım. $[AB]$ yi içten bölen $P$ noktası ile dıştan bölen $Q$ noktası için $\dfrac{AP}{AQ}=\dfrac{BP}{BQ}$ oluyorsa $P$ ve $Q$ noktaları $[AB]$ yi harmonik olarak böler. $P$ ve $Q$ noktalarının $[AB]$ yi harmonik bölüşü $(ABPQ)$ şeklinde gösterilir. Ayrıca $P$ ve $Q$ noktalarına $A$ ve $B$ noktalarının, karşıt olarak $A$ ve $B$ noktalarına $P$ ve $Q$ noktalarının harmonik eşlenikleri denir.
(http://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=5560.0;attach=14635;image)
Teorem: Bir tam dörtgende, bir köşegen diğer iki köşegen tarafından harmonik olarak bölünür.
(http://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=5560.0;attach=14633;image)
İspat: $ACC'$ üçgeninde $BB'$ kesenine göre menelaus teoremi yazılırsa;
$\dfrac{EC'}{EC}\cdot\dfrac{CB}{BA}\cdot\dfrac{AB'}{B'C}=1 \tag{1}$
$ACC'$ üçgeninin köşelerini $A'$ noktasına birleştiren doğrulara göre ceva teoremi yazılırsa;
$\dfrac{C'D}{CD}\cdot\dfrac{CB}{BA}\cdot\dfrac{AB'}{B'C}=1 \tag{2}$
$(1)$ ve $(2)$ den
$\dfrac{EC'}{EC}=\dfrac{DC'}{DC} \tag{3}$
$(3)$ bağıntısı $(DECC')$ bölmesinin harmonik olduğunu gösterir.
$(FEBB')$ ve $(FDAA')$ bölmelerinin de harmonik olduğunu benzer şekilde gösterebiliriz.
Tanım: Bir daire ve bir $P$ noktası veriliyor. Bu noktadan geçen ve daireyi $A$ ve $B$ noktalarında kesen değişken bir doğru çiziliyor. $P$ noktasının $A$ ve $B$ noktaların göre harmonik eşleniği olan $M$ noktası alınıyor. $M$ noktasının geometrik yeri bir doğru olup, bu doğruya $P$ noktasının daireye göre kutup doğrusu denir.
Bir noktanın kutup doğrusu, bu nokta ile merkezden geçen doğruya diktir.*
(http://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=5560.0;attach=14631;image)
Teoreme göre; $(AEC'B)$ ve $(AFB'C)$ bölmeleri harmoniktir. Buna göre $E$ ve $F$ noktaları $A$ noktasının daireye göre kutup doğrusu üzerindedir. O halde $DH$ doğrusu $A$ nın kutup doğrusu ve $M$ merkez olduğuna göre, $DH\perp AM$ dir.
(http://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=5560.0;attach=14629;image)