Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Genç Takım Seçme => 2015 => Konuyu başlatan: MATSEVER 27 - Şubat 18, 2016, 05:23:25 ös

Başlık: Tübitak Genç Takım Seçme 2015 Soru 4
Gönderen: MATSEVER 27 - Şubat 18, 2016, 05:23:25 ös

$a,b,c$ pozitif gerçel sayıları $a^2+b^2+c^2+2abc \le 1$ koşulunu sağlıyorsa,
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+2(a+b+c)$$
olduğunu gösteriniz.

(Fehmi Emre Kadan)

Başlık: Ynt: Tübitak Genç Takım Seçme 2015 Soru 4
Gönderen: MATSEVER 27 - Şubat 18, 2016, 05:26:11 ös

$\text{Matematik Fatihi:}$

İsteneni ispatlamak için benzerlikten dolayı $\dfrac{1}{a}-2b \ge \dfrac{c}{a}$ göstermemiz yeterli olacaktır. Bunun için koşulumuzda $a^2+b^2\ge 2ab$ olduğunu kullanarak $2ab+c^2+2abc-1 \le 0 \Rightarrow (c+1)(c+2ab-1) \le 0$ elde ederiz. $c+1 >0$ olduğundan $1 \ge c+2ab$ elde edilir. Her tarafı $a$ ile bölüp düzenlersek $\dfrac{1}{a}-2b \ge \dfrac{c}{a}$  olur ve ispat biter.