$\textbf{Ortaokul Matematik Kamp Sonu Sınavı 2016}$
$12.02.2016$
$\textit{Problem 1}$
$13^x+36^y=z^2$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y,z)$ pozitif tamsayı üçlülerini bulunuz.
$\textit{Problem 2}$
$ABC$ üçgeninde $P \in [AB], Q \in [AC]$ olmak üzere $PQ //BC$ dir. $APQ$ üçgeninin diklik merkezi $H$ ve $HB \cap PQ={E}, HC \cap PQ={F}$ olsun. $HEQ$ ve $HPF$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezleri arasındaki mesafenin $\dfrac{|PE|+|QF|}{2}$ olduğunu kanıtlayınız.
$\textit{Problem 3}$
$8 \times 8$ satranç tahtasının her birim karesinde ikişer çekirge bulunuyor. Her çekirge bulunduğu birim kareyle ortak kenarı bulunan başka bir birim kareye, aynı birim karedeki çekirgelerin farklı birim karelere atlaması şartıyla atlarsa, en fazla kaç birim kare boş kalabilir?
$\textit{Problem 4}$
$x,y,z$ sayıları derece cinsinden bir üçgenin iç açıları olsunlar. Buna göre aşağıdakileri kanıtlayınız.
$\text{(a.)}$ Eğer $\dfrac{x}{y},\dfrac{y}{z},\dfrac{z}{x}$ oranları rasyonel sayılarsa $x,y,z$ sayıları rasyoneldir.
$\text{(b.)}$ Yukarıdaki oranlardan yalnız bir tanesi rasyonelse $x,y,z$ sayıları irrasyoneldir.
$\textit{Sınav süresi 3,5 saattir. Başarılar dileriz.}$