Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: ArtOfMathSolving - Ocak 17, 2016, 02:00:03 ös

Başlık: Eşitsizlik sorusu $99${çözüldü}
Gönderen: ArtOfMathSolving - Ocak 17, 2016, 02:00:03 ös

$a,b,c>0$ eşitsizliğini ve $a+b+c=ab+ac+bc$ eşitliğinin sağlayan gerçel sayılar için; 

$\dfrac{a}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{b}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+c}}>1$ olduğunu gösteriniz.

Başlık: Ynt: Eşitsizlik sorusu $99$
Gönderen: MATSEVER 27 - Ocak 17, 2016, 03:50:30 ös

İfademize $\mathfrak{S}$ diyelim. Hölder Eşitsizliğinden $\mathfrak{S}^2.(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca) \ge (a+b+c)^3$ olur. $(a+b+c)^3 > a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=(a+b+c)^2-(a+b+c) \rightarrow (a+b+c)^3+(a+b+c) \ge (a+b+c)^2$ ise ispat biter, ki $A.G.O$ dan $(a+b+c)^3+(a+b+c) \ge 2(a+b+c)^2$ biliyoruz. İspat biter.