Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: MATSEVER 27 - Aralık 23, 2015, 09:00:09 ös
-
$\sqrt{7x^2-13xy+7y^2}=|x-y|+1$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y)$ tamsayı ikililerini bulunuz. $[\text{IMO 2014 Shortlist N2}]$
-
Sorunun orijinalinde küpkök soruluyordu sanırım bu soru daha sade çözüldü.
Bu soru $a=x+y$ ve $b=x-y$ değişken dönüşümlerini yapmamız durumunda ifadesel olarak sadeleşiyor. $a,b$ tam sayı ve $7x^2-13xy+7y^2\geq 0$ olduğunu not edelim.
$x^2+2xy+y^2=a^2$ ve $x^2-2xy+y^2=b^2$ olduğundan $x^2+y^2=\dfrac{a^2+b^2}{2}$ ve $xy=\dfrac{a^2-b^2}{4}$ dönüşümlerini yapıp ifadenin karesini alalım.
Ayrıca eşitsizliğimiz $\dfrac{7}{2}.(a^2+b^2)-\dfrac{13}{4}.(a^2-b^2)\geq 0$ yani $\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{27}{4}b^2\geq 0$ olur. Bu da daima doğrudur.
Denklemimiz de $$\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{27}{4}b^2=b^2+2|b|+1$$ yani $$a^2=-23b^2+8|b|+4$$ olur. $b=0$ bir çözümdür. Kalan durumlarda genelliği bozmadan $b>0$ alalım. Bu durumda
$a^2=-23b^2+8b+4=(-19b^2)+(2b+2)^2$ Buradan denklemin çözümü olabilmesi için $2b+2\geq \sqrt{19}b>4b$ yani $b<1$ olur. Bu da bize çelişki verir. O halde denklemin tek çözümü $b=0$ dır. Buradan $a=2$ veya $a=-2$ gelir. $x=y$ olduğundan $2x=2$ yani $(1,1)$ ve $2x=-2$ yani $(-1,-1)$ çözümleri elde edilir. Denklemin başka çözümü yoktur.
-
Denklem $x$ ve $y$'ye göre simetriktir. Dolayısıyla, genelliği bozmadan $x\geq y$ kabul edebiliriz. $x-y=a$ dersek, $$7x^2-13xy+7y^2=7(y+a)^2-13y(y+a)+7y^2=y^2+ay+7a^2$$ elde edilir. Dolayısıyla, $$y^2+ay+7a^2=(a+1)^2=a^2+2a+1$$ $$\implies y^2+ay+(6a^2-2a-1)=0$$ buluruz. Çözümü olması için diskriminantı negatif olmamalıdır. $$\Delta=a^2-4(6a^2-2a-1)=-23a^2+8a+4\geq 0$$ olacağından ve $a\geq 0$ olduğundan $a=0$ olmalıdır. Yerine yazarsak, $y^2=1$ elde edilir. Yani tüm çözümler $(x,y)=(1,1)$ ve $(-1,-1)$ olabilir. Yerine yazarsak, çözüm oldukları görülebilir.
-
Pozitif tam sayılar kümesinde
$$\sqrt[3]{7x^2-13xy+7y^2}=\mid x-y \mid +1$$ versiyonunu da çözelim. $a=x+y>0$ ve $b=x-y$ olacak şekilde $a,b$ tam sayıları vardır. Denklemin kübünü alırsak $\dfrac{a^2+27b^2}{4}=|b|^3+3|b|^2+3|b|+1$ gelir. Buradan $b^2=|b|^2$ olduğundan yola çıkarsak
$a^2=4|b|^3+-15|b|^2+12|b|+4=(|b|-2)^2(4|b|+1)$ yazılabilir. $4|b|+1$ tam kare olmalıdır ve bu ifade tek sayı olduğu için
$m\in Z$ için $4|b|+1=(2m+1)^2$ olacak şekilde $m$ tam sayısı bulunur. Buradan $|b|=m^2+m$ ve bu da bize yukarıdaki $a^2$ eşitliğinden $$a=±(|b|-2).(2m+1)=±(m-1)(m+2)(2m+1)$$ verir. Öncelikle $a=-(m-1)(m+2)(2m+1)$ i inceleyelim
$m>1$ için $a$ negatif çıktığı görülebilir.
$m=1$ için $a=0$ gelir ve çelişki.
$m=0$ için $a=2$ ve $|b|=0^2+0=0$ olur. $(1,1)$ çözümü gelir.
$m=-1$ için $a=-2$ gelir ve çelişki.
$m=-2$ için $a=0$ gelir. Çelişki.
Kalan durumlar için $-m-1=m'$ dönüşümü yapalım. $m'\geq 2$ olduğu barizdir ve ifademiz $a=(m'-1)(m'+2)(2m'+1)$ olur.
Benzer şekilde $a=(m-1)(m+2)(2m+1)$ i çözersek $m=-1$ için $a=2$ gelir. $m=-1$ ise $|b|=1-1=0$ yani $b=0$ olur. $(1,1)$ çözümü gelir. Ve geri kalan durumlarda üsttekine benzer şekilde $m\geq 2$ için $a=(m-1)(m+2)(2m+1)$ olduğu görülür.
Kalan durumlarda $b=0$ olmadığı barizdir ($m^2+m=0$ ise $m=0$ veya $m=-1$ diye) . $b$ nin işaretine göre geriye kalan çözümler $(x,y)$ ve $(y,x)$ şeklinde olacağından genelliği bozmadan $b> 0$ için çözersek
$x+y=(m-1)(m+2)(2m+1),x-y=m^2+m$ Buradan $(x,y)=(m^3+m^2-2m-1,m^3+2m^2-m-1)$ gelir.
O halde denklemin tüm çözümleri $(x,y)=(1,1)$ veya $\{x,y\}=\{m^3+m^2-2m-1,m^3+2m^2-m-1\}$ , $m\in Z_{\geq 2}$ olarak bulunur.
Not: $\{x,y\}$ gösterimi $(x,y)$ ve $(y,x)$ çözümlerini birlikte kapsamaktadır.
Not2: Resmi çözümü de ekran görüntüsü olarak ekledim.