Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: MATSEVER 27 - Aralık 23, 2015, 04:26:44 ös
-
$a,b,c$ pozitif gerçel sayıları $a+b+c=abc$ eşitliğini sağlıyorsa;
$$\dfrac{2}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2+1}}$$
ifadesinin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.
-
Eğer $a,b,c$ nin pozitif olma şartı olmasaydı ifadenin maksimum değeri $4$ oluyor. Parabolik ifadelerin tepe noktasını düşünerek basitçe $a=b=c=0$ yazmak yeterli olur. Diğer taraftan
$0<\alpha, \beta, \gamma <\pi$ olmak üzere $a=\tan \alpha$, $b=\tan\beta$, $c=\tan\gamma$ dönüşümü yapılırsa $a+b+c = abc$ eşitliği $\tan \alpha +\tan\beta+\tan\gamma = \tan \alpha \tan\beta \tan\gamma $ eşitliğine dönüşür. Buradan $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ elde edilir.
$T=\dfrac{2}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2+1}}$ ifadesi $T=2|\cos\alpha|+|\cos\beta| + | \cos\gamma|$ olup $|\cos x|\leq 1$ olduğundan dolayı $T \leq 4$ bulunur. Eşitlik hali $\alpha = 0$, $\beta = 0$, $\gamma = \pi$ (ya da bunların herhangi bir permütasyonu) durumunda sağlanır. Bu ise $a=b=c=0$ durumuna karşılık gelir. $T=4$ elde edilir.
Eğer $a,b,c$ nin pozitif olma şartı verilirse $0<\alpha, \beta, \gamma <\frac{\pi}{2}$ olmak üzere yine $a=\tan \alpha$, $b=\tan\beta$, $c=\tan\gamma$ dönüşümü yapılır ve $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ dir. Bu defa $T=2\cos\alpha+\cos\beta + \cos\gamma$ olur. Maksimum değere ulaşamadım, şimdilik sadece $T<4$ olduğunu söyleyebiliriz.