Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: MATSEVER 27 - Aralık 21, 2015, 07:45:28 ös
-
$$a^2+b^2+c^2+2abc+3 \ge (1+a)(1+b)(1+c)$$
eşitsizliğinin tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için sağlandığını gösteriniz.
-
$ \begin{array}{lll} a^2 + b^2 + c^2 + 2abc + 3 - (1+a)(1+b)(1+c) &=& a^2 + b^2 + c^2 + 2abc + 3 - (1 + a + b + ab)(1+c) \\
&=& a^2 + b^2 + c^2 + 2abc + 3 - 1 - ab - ac - bc - a - b -c - abc \\
&=& a^2 + b^2 + c^2 + abc + 2 - ab - ac - bc - a - b -c \\
&\geq 0
\end{array}$
olduğunu göstermemiz isteniyor.
Buradan (https://geomania.org/forum/index.php?topic=8091.0) $$a^2+b^2 + c^2 + 2abc + 1 - 2(ab+ac+bc) \geq 0 \tag{1}$$ elde edilir.
$$a^2 + b^2 + c^2 - 2(a+b+c) + 3 = (a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 \geq 0 \tag {2}$$
$(1)$ ve $(2)$ yi taraf tarafa toplarsak $$2(a^2+ b^2 + c^2) + 2abc + 4 - 2(ab+ac+bc + a + b + c) = 2\left (a^2 + b^2 + c^2+ abc + 2 - (ab + ac + bc + a+ b + c) \right ) \geq 0$$
Eşitlik durumu $a=b=c=1$ iken sağlanır.
Not:
Bu soru Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu ve Marian Tetiva'ya ait olup Andreescu, T., Cîrtoaje, V., Dospinescu, G., & Lascu, M. (2004). Old and New Inequalities. (https://books.google.com.tr/books?id=88zKXwAACAAJ) kitabında 74. soru olarak sorulmuştur. Kitapta 2 ayrı çözüm daha yer almaktadır.
-
Kaynakça bilgilendirmesi için ayrıca teşekkürler Geo hocam. Özellikle nitelikli sorularda kaynak belirtilmezse, soruyu çözemediğimiz durumlarda çözümü araştırma adımı çok fazla vakit alabiliyor. Bu durumda problemler, kullanıcılara pek faydası olmayan cevapsız sorular yığınına dönüşüyor maalesef.
İyi çalışmalar diliyorum.
-
Şu kısımda sol tarafın 0'dan büyük olduğunu nasıl buluyoruz
-
Şu kısımda sol tarafın 0'dan büyük olduğunu nasıl buluyoruz
$(1)$ ve $(2)$ eşitsizliklerini taraf tarafa toplamak yeterlidir. $(1)$ in ispatı için de bir bağlantı verilmiş, ona bakmış mıydınız?