Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: MATSEVER 27 - Aralık 07, 2015, 01:05:50 ös
-
$a,b,c$ pozitif gerçel sayıları $a+b+c$ $=$ $3$ eşitliğini sağlıyorsa;
$$abc (a^2+b^2+c^2) \le 3$$
olduğunu gösteriniz.
-
Bulamadım ama yinede paylaşayım
-
(a+b+c)²≤3(a²+b²+c²)
3≤(a²+b²+c²)
ayrıca Go≤Ao dan abc≤1
Yani 0<abc≤1
Basit kesirle (a²+b²+c²) bin çarpımı eşitsizliğin yönünü değiştirir dolayısıyla
abc(a²+b²+c²)≤3 denile bir mi?
-
Ne yazık ki hayır. Tam olarak böyle bir şey denilemez. Örneğin $abc=\dfrac{1}{2}$ ve $a^2+b^2+c^2=16$ olsun. Sağlamaz. Farklı bir biçimde yaklaşmanız gerekiyor.
-
a+b+c=3
abc≤1
İken a²+b²+c²=16 olabilir mi?
-
Haklısınız o halde farklı bir örnek verelim. $a=\dfrac{1}{2}, b=\dfrac{1}{2}, c=2$ olsun. O halde $abc=\dfrac{1}{2}$ dir. Ayrıca $a^2+b^2+c^2=\dfrac{9}{2}>3$ olur. Yani tam olarak böyle bir denilemez. (İlk baştaki örnekte ufak bir hata olmuş, özür diliyorum. Ancak bu yoldan çıkmıyor galiba. Bence farklı bir yol deneyebilirsiniz. :) )
-
abc(a²+b²+c²)=a³bc+ab³c+abc³≤a³b³c³+a³b³c³+a³b³c³≤3a³b³c³≤3.1
[abc≤1 Ago]
-
eşitsizliğimizi $a^3bc+ab^3c+abc^3\leq 3$ şeklinde düzenleyelim.
Chebyshev Eşitsizliğinden $\dfrac {(a^3+b^3+c^3)(ab+ac+bc)}{3}\leq 3 \Rightarrow (a^3+b^3+c^3)(ab+ac+bc)\leq (a+b+c)^2$ olur.
Cauchy-schwarz'dan $(a^3+b^3+c^3)(ab+ac+bc)\leq (a+b+c)^2$ olduğunu biliyoruz. İspat biter