Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Genç Takım Seçme => 2014 => Konuyu başlatan: MATSEVER 27 - Ekim 30, 2015, 10:32:20 ös

Başlık: Tübitak Genç Takım Seçme 2014 Soru 4
Gönderen: MATSEVER 27 - Ekim 30, 2015, 10:32:20 ös

$a,b,c$ gerçel sayıları $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=3$ eşitliğini sağlıyorsa,$$(a+5)^2+(b-2)^2+(c-9)^2$$ifadesinin alabileceği en küçük değeri belirleyiniz.

(Fehmi Emre Kadan)

Başlık: Ynt: Tübitak Genç Takım Seçme 2014 Soru 4
Gönderen: MATSEVER 27 - Aralık 17, 2015, 09:12:45 ös

Eşitliği düzenlersek $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=6$ elde ederiz. $\text{Cauchy-Schwarz}$ eşitsizliğinden $2((a-b)^2+(b-c)^2) \ge (a-c)^2$ idir. O zaman $6 \ge \dfrac{3(a-c)^2}{2}$ elde edilir. Buradan $|a-c| \le 2$ elde edilir. $(a+5)^2+(b-2)^2+(c-9)^2=(a-1)^2+(b-2)^2+(c-3)^2+12(a-c)+96$ olur. $|a-c| \le 2 \rightarrow a-c \ge -2$ ve $(a+5)^2+(b-2)^2+(c-9)^2 \ge 72$ elde edilir. Eşitlik $a=1,b=2,c=3$ için sağlanır.