Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme => 2013 => Konuyu başlatan: MATSEVER 27 - Ekim 25, 2015, 06:59:27 ös
-
$18$ oyuncunun katıldığı bir turnuvada her oyuncu her gün farklı bir oyuncuyla maç yapıyor. İlk $8$ günün maçları tamamlandığında birbiriyle maç yapmamış $3$ oyuncunun bulunmasının mümkün olup olmadığını gösteriniz.
-
Farz edelim ki $A$ ve $B$ aralarında maç yapmamış iki oyuncu olsun.Bu durumda maç yapmayan 3 kişinin bulunmaması için kalan 16 sporcudan her biri ile ya $A$ ya $B$ ya da hem $A$ hem $B$ ile maç yapmış olmalıdır. O zaman bir kişinin yaptığı maç kişi sayısını $s(X)$ ile gösterecek olursak:
$s(A) + s(B) - s(A\cap B)=16$ olmalıdır.
Toplam 8 tur olduğundan her oyuncu 8 maç yaptığı için :
$8 + 8 - s(A\cap B)=16 \Rightarrow s(A\cap B)=0$ yani iki oyuncunun da maç yaptığı kişi yoktur. Bu durumda aralarında maç yapmayan 3 kişinin bulunmaması için aralarında maç yapmamış 2 oyuncunun ortak maç yaptığı kimse olmamalıdır.
Yani kalan 16 kişiden 8 i ile $A$ diğer 8 i ile $B$ maç yapmış olmalıdır.Şimdi $A$ nın maç yaptığı kişileri
$A=\{A_1,A_2 ... ,A_8\}$ ile $B$ nin maç yaptığı kişileri $B=\{B_1,B_2 ... ,B_8\}$ ile gösterelim.
Diyelim ki $A$ nın maç yaptığı kişilerden ikisi kendi arasında maç yapmamış olsun.Bu durumda aralarında maç yapmamış ancak ortak maç yaptığı biri olan 2 kişi bulunur ki bu durumda yukarıdaki koşul sağlanmaz ve aralarında maç yapmamış 3 kişi bulunur. Yani $A,A_1,A_2 ... ,A_8$ oyuncularının hepsi kendi aralarında maç yapmış olmalı.Aynı durum kalan 9 kişi içinde geçerlidir.Yani aralarında maç yapmamış 3 kişi bulunmaması için 9 kişi kendi arasında kalan 9 kişi ise kendi arasında maç yapmış olmalıdır.Aksi durumda koşul sağlanmaz ve aralarında maç yapmamış 3 kişi bulunur.Yani aralarında maç yapmamış 3 kişinin bulunması mümkündür.