Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Kombinatorik => Konuyu başlatan: senior - Eylül 20, 2015, 09:35:54 ös
-
Evimizdeki bilgisayar ile ilginç bir oyun oynuyoruz. Bilgisayarda tek tuş var, ve bu tuşa her bastığımızda bize 0-100 arasında reel bir sayı veriyor. Oyun o ana kadar bize verdiği reel sayıların toplamı 100 ü geçtiği an bitiyor. Bu oyunu ortalama kaç tur oynarız?
-
Rastgele sayının ortalama $50$ olmasını beklerim. $50 + 50 = 100$ olur. Ortalama $2$ turda oyun biter. Daha detaylı çözümü vardır muhakkak.
-
Lokman hocam, cevap yakın ama malesef yanlış :)
-
Öncelikle işlemleri kolaylaştırmak için soruyu değiştiriyorum. 0-100 arasında sayılar yaratıp, bu sayılarin toplamının 100 ü geçmesini beklemek ile, 0-1 arasında sayılar yaratıp, aynı sayıların toplamının 1'i geçmesini beklemek aynı şeydir. Oyunu oynadığımız tur sayısına n diyelim. Bizim hesaplamaya çalıştığımız ortalama oyunu oynama sayımız şöyle yazılabilir: (Buna A diyelim)
A = 1 * P(n = 1) + 2 * P(n = 2) + 3 * P(n = 3) ... (aslına bakarsanız ağırlıklı ortalama) Yani P(n = k) yı bulduktan sonra işimiz bitiyor.
P(n = 1) = 0' dır. Zaten sayılar 1'den küçük, 1'i geçme durumumuz yok. P(n = 2) = 1 - P(n> 2) = 1 - P(x + y < 1) dir. P(x+y < 1) ise resimdeki 2D bölümünde taralı alandir, yani 1/2. (x + y = 1 doğrusunun altindaki bölge) P(n = 3) = P(n > 2) - P(n > 3) = P(x + y < 1) - P(x + y + z < 1)'dir ve P(x + y + z < 1) de resimde 3D bölümündeki piramidin hacmidir, o da (x + y + z = 1 düzleminin alt tarafı) yani 1/6. P(n = 4) için şekil çizemiyoruz ama tahmin yapmak kolay, N-D piramidin hacmi olacak ,bu da 1/n!. Kendimce yaptığım bir ispatı ilgilenenlerle aşağıda paylaştım.
O zaman sadece yerine koymak kalıyor:
P(n = 2) = P(n > 1) - P(n > 2) = 1 - 1/2!,= 1/2
P(n = 3) = P(n > 2) - P(n > 3) = 1/2! - 1/3! = (3-1)/3! = 2 / 3!
P(n = 4) = P(n > 3) - P(n > 4) = 1/4! - 1/5! = (4-1)/4! = 3 / 4!
..
P(n = k) = (k-1) / k!
O zaman istediğimiz ortalama: $$\boxed{A = 2 . 1/2 + 3 . 2 / 3! + 4 . 3 / 4! ... = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... = e}$$ sayısıdır.
$P(a_1+a_2+...a_n < 1) = 1 / n!$ İSPATI:
Olasılıkları integral şeklinde yazabiliriz. Mesela 2D için:
$$P(x + y < 1) = \int_{0}^{1} {\int_{0}^{1-x}{dy} dx} = \int_{0}^{1} {(1-x)dx} = 1/2$$
Bu integral aslında şöyle düşünülebilir: 0'dan 1'e bütün x'leri ve x sabit iken 0'dan 1-x'e bütün y'lerin olasılıklarının toplamı. Yani ikisinin toplamı 1'e geçeyemecek şekilde bütün durumlar. Benzer şekilde 3D için:
$$P(x + y + z < 1) = \int_{0}^{1} {\int_{0}^{1-x}{\int_{0}^{1-x-y} {dz} dy} dx} = \int_{0}^{1} {\int_{0}^{1-x}{(1-x-y)dy} dx} = \int_{0}^{1} {((1-x)^2-\frac{(1-x)^2}{2}) dx} =\int_{0}^{1}{\frac{(1-x)^2}{2}dx} = 1/6 $$
Diyelim ki N adet sayı var, yani şu olasılığı bulmak istiyoruz: $P(a_1+a_2+...a_n < 1)$ Bu durumda integral aşağıdaki gibi olacak:
$$P(a_1+a_2+...a_n < 1) = \int_{0}^{1}{... \int_{0}^{1-a_1-...-a_{n-2}}{\int_{0}^{1-a_1-...-a_{n-1}}} da_{n}da_{n-1}...da_1}$$
Şimdi iç taraftan başlayarak integralleri alalım:
$$P(a_1+a_2+...a_n < 1) = \int_{0}^{1}{... \int_{0}^{1-a_1-...-a_{n-2}}{(1-a_1-...-a_{n-1})} da_{n-1}da_{n-2}...da_1}$$
$$P(a_1+a_2+...a_n < 1) = \int_{0}^{1}{... \int_{0}^{1-a_1-...-a_{n-3}}{\frac{(1-a_1-...-a_{n-2})^2}{2}} da_{n-2}da_{n-3}...da_1}$$
$$P(a_1+a_2+...a_n < 1) = \int_{0}^{1}{... \int_{0}^{1-a_1-...-a_{n-4}}{\frac{(1-a_1-...-a_{n-3})^3}{2.3}} da_{n-3}da_{n-4}...da_1}$$
$$P(a_1+a_2+...a_n < 1) = \int_{0}^{1}{... \int_{0}^{1-a_1-...-a_{n-5}}{\frac{(1-a_1-...-a_{n-4})^4}{2.3.4}} da_{n-4}da_{n-5}...da_1}$$
Gidişat belli:
$$P(a_1+a_2+...a_n < 1) = \int_{0}^{1}{... \int_{0}^{1-a_1-...-a_{n-k-1}}{\frac{(1-a_1-...-a_{n-k})^k}{2.3.4..k}} da_{n-k}da_{n-k-1}...da_1}$$
$$P(a_1+a_2+...a_n < 1) = \int_{0}^{1}{\frac{(1-a_1)^{n-1}}{2.3.4..(n-1)} da_1}$$
$$P(a_1+a_2+...a_n < 1) = 1 / n!$$