Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Haziran 30, 2015, 10:39:54 ös
-
$ABC$ dar açılı üçgeninde $|BC|>|CA|$ dır. $O, H$ ve $F$ noktaları sırasıyla $ABC$ nin çevrel çemberinin merkezi, $ABC$ nin diklik merkezi ve $C$ den $AB$ üzerine inen dikmenin ayağıdır. $AC$ üzerinde $\angle{OFP}=90^\circ$ olan nokta $P$ olmak üzere, $\angle{FHP}=\angle{BAC}$ olduğunu gösteriniz.
-
(Mehmet Utku Özbek)
Lemma: Bir $ABC$ üçgeninde $H$ diklik merkezi olmak üzere $H$ nin kenarlara göre simetrikleri $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi üzerindedir. İspatı açılardan kolayca yapılabilir.
Şimdi $CH$ yi uzatalım ve $ABC$ üçgeninin çevrel çemberiyle kesiştiği noktaya $K$ diyelim. Lemmadan dolayı $HF=FK$ dır. $\angle BAC=\alpha$ olsun. $\angle CKB=\angle KHB=\alpha$ olur. $\angle FHP=\angle BAC=\alpha$ olması demek
$HP \parallel BK$ olması demektir. $PF$ yi uzatalım ve $BK$ ile kesiştiği noktaya $L$ diyelim. Eğer $BK \parallel HP$ ise $HF=FK$ olduğu için $PF=FL$ dir. Yani $PF=FL$ olduğunu ispatlarsak soru biter. $O \ , \ PL$ ye dikmiş.
O zaman $\angle POF=\angle FOL$ olduğunu ispatlarsak soru biter. Şimdi $O$ dan $AC$ ve $BK$ ye dik indirelim. Bu dikmelerin ayakları sırasıyla $D$ ve $E$ olsun. O zaman $OFPD$ ve $OFLE$ kirişler dörtgenidir.
Yani $\angle POF=\angle PDF$ ve $\angle FOL=\angle FEL$ olur. Yani $\angle PDF=\angle FEL$ olduğunu gösterirsek ispat biter. $AFC$ dik üçgen olduğu için muhteşem üçlüden $\angle ADF=180-2\alpha$ dır. O zaman $\angle FEL=180-2\alpha$ olduğunu
göstermeliyiz. $HF=FK$ ve $BE=EK$ olduğu için $FE \parallel BH$ olur. Yani $\angle HBK=180-2\alpha$ olduğunu göstermeliyiz. $AKBC$ kirişler dörtgeni olduğu için $\angle BAC=\angle CKB=\alpha$ olur. $BH=BK$ olduğu için
$\angle HBK=180-2\alpha$ dır. İspat biter.
-
Aşağıdaki çizime göre $m(\widehat{BHD})=m(\widehat{FHD})$ olduğunu ispatlamamız istenmektedir.
Çözüm: Herhangi bir $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$ olsun. $H$ noktasının kenarlara göre simetrileri çevrel çember üzerindedir. Bu sebeple $|HD|=|DK|$ olur. $OD \perp DF$ olduğunu biliyoruz. $DF$ doğrusu; $BK$'yı $L$'de ve çemberi $P,Q$ noktalarında kessin. $[PQ]$ nun orta noktasının $D$ olacağı aşikardır. Öyleyse Butterfly teoremi (https://en.wikipedia.org/wiki/Butterfly_theorem) gereği $|DL|=|LF|$ dir. O halde Thales teoreminin tersi gereği $HF \parallel BK$ olur. $m(\widehat{EBK})=m(\widehat{EHF})=2\alpha $ dır. $BHD$ dik üçgeninden $m(\widehat{BHD})=90^\circ - \alpha=m(\widehat{FHD})$ elde edilir.