Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Genç Balkan Matematik Olimpiyatı => 2015 => Konuyu başlatan: Eray - Haziran 28, 2015, 06:55:36 öö

Başlık: Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2015 Soru 4
Gönderen: Eray - Haziran 28, 2015, 06:55:36 öö

Bir L-şekli, her biri üç birim kare kaplamak üzere aşağıdaki dört parçadan biridir:

(http://geomania.org/forum/2015-207/genc-balkan-matematik-olimpiyati-2015-soru-4/?action=dlattach;attach=14321;image)

$25$ birim kare içeren $5 \times 5$ bir tahta, bir $k\le25$ pozitif tamsayısı ve yeterli miktarda L-şekli veriliyor. A ve B isimli iki oyuncu şu şekilde bir oyun oynuyorlar: oyuna A başlamak üzere, sırası gelen oyuncu daha önce işaretlenmemiş bir birim kareyi işaretliyor. $k$ birim kare işaretlendiğinde oyun bitiyor.

Oyun sonunda işaretlenmemiş karelere L-şekilleri, her bir L-şekli üç işaretlenmemiş birim kare kaplayacak şekilde yerleştiriliyor. L-şekilleri üst üste gelmiyorsa, bu tür yerleştirmeye iyi yerleştirme diyoruz.

Her iyi yerleştirmede en az üç işaretlenmemiş birim kare kalıyorsa, oyunu B kazanıyor. B'nin kazanma stratejisinin bulunduğu en küçük $k$ sayısını belirleyiniz.

Başlık: Ynt: Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2015 Soru 4
Gönderen: alpha - Temmuz 02, 2015, 12:48:07 öö

$k=4$ için B'nin kazanma stratejisini göstermeden önce cevabın 4'ten küçük olamayacağını gösterelim.

$\bullet k=1$ için B'nin kazanamadığı açıktır.

$\bullet k=2$ için A ortadaki noktayı işaretler,
(http://geomania.org/forum/2015-207/genc-balkan-matematik-olimpiyati-2015-soru-4/?action=dlattach;attach=14331)
B hangi noktayı işaretlersen işaretlesin, B'nin işaretlediği noktadaki yukarıdaki şekildeki yerleştirmede noktayı içine alan L-şekli çıkarılınca
2 boş karenin kaldığı iyi bir yerleştirme ortaya çıkar ki bu durumda B kazanamaz.

$\bullet k=3$ için A yukarıdaki hamlesinin aynısını yapar , 2. hamlesinde ise A yukarıdaki durumda boş kalan 2 noktadan birin işaretler ve B yine kazanamaz.

Şimdi B'nin $k=4$ için kazanma stratejisini gösterelim:

B, A hangi kareyi işaretlerse işaretlerse işaretlesin şekildeki 2 kareyi işaretler (Eğer A bu karelerden birini işaretlerse diğer rastgele bir kare işaretleyebilir o kare yerine)(http://geomania.org/forum/2015-207/genc-balkan-matematik-olimpiyati-2015-soru-4/?action=dlattach;attach=14333)

Şimdi o 2 kare işaretlendiğinde elde edilebilecek tüm iyi yerleştirmelerde en az 5 karenin boş kaldığını gösterelim.
(http://geomania.org/forum/2015-207/genc-balkan-matematik-olimpiyati-2015-soru-4/?action=dlattach;attach=14335)
Tahtayı şekilde gibi siyah beyaz boyarsak 13 siyah ve 12 beyaz kare olduğunu görürüz ancak 2 beyaz renk işaretlendiği için 13 siyah ve 10 beyaz kare vardır.
Bir L-şeklinde,  2 beyaz ve  1 siyah veya 2 siyah ve 1 beyaz kare bulunulabilir.
Şekle , 2 tane siyah kare içeren en fazla 4 tane L-şekli sığabildiği açıkça gözükmektedir.
Bu durum 5'ten az karenin kalabileceği tek dağılım türü 4 tane 2 siyah kare içeren , 3 tane 2 beyaz içeren L-şeklinin bulunduğudur.
Bu dağılımı yaparken bütün siyah kareler kullanılmalıdır ancak 1.sütun 3.satırdaki siyah kare kapatılmak istendiğinde sol üst veya alt karedeki karelerden biri şekildeki gibi bloke olmaktadır.
(http://geomania.org/forum/2015-207/genc-balkan-matematik-olimpiyati-2015-soru-4/?action=dlattach;attach=14337)
Bu yüzden bütün siyah kareler kullanılamamakta ve böyle bir yerleştirme mevcut olmamaktadır.Bu en az 5 karenin kaldığını göstermektedir.Burada beyaz 2 hamlesinde en fazla iki tane boş kareyi işaretler ve geriye en az 3 tane boş kare kalır ki bu durumda B kazanmayı garantiler.Cevap $4$'tür.