Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Genç Balkan Matematik Olimpiyatı => 2015 => Konuyu başlatan: Eray - Haziran 28, 2015, 06:39:38 öö
-
$ABC$ dar açılı bir üçgen olsun. $l_1$ ve $l_2$ doğruları $AB$ kenarına sırasıyla $A$ ve $B$ de diktir. $AB$ nin orta noktası olan $M$ noktasından $AC$ ve $BC$ ye çizilen dikmeler $l_1$ ve $l_2$ yi sırasıyla $E$ ve $F$ de kesiyor. $D$ noktası, $EF$ ve $MC$ doğrularının kesim noktasıysa, $\angle ADB = \angle EMF$ olduğunu gösteriniz.
-
(Mehmet Utku Özbek)
İddia: $EF \perp MC$ dir.
İspat: $ME \ \cap \ AC={H}$ ve $MF \ \cap \ BC={G}$ olsun. $AME$ ve $BMF$ dik üçgenlerinde Öklid uygulayalım.
$\Longrightarrow MB^2=MG \cdot MF$ ve $MA^2=MH \cdot ME$
$M$ orta noktaydı yani $MA=MB$ dir.
$\Longrightarrow MG \cdot MF=MH \cdot ME \ \ \Rightarrow E \ , \ F \ , \ G \ , \ H$ çemberseldir.
$EF \ \cap \ AC=K$ ve $EF \ \cap \ BC=L$ olsun. $\angle HEK=\alpha$ olsun. $E \ , \ F \ , \ G \ , \ H$ çembersel olduğu için $\angle HGM=\alpha$ olur. $G \ , \ M \ , \ H \ , \ C$ nin çembersel olduğunu biliyoruz. O zaman $\angle MCH=\alpha$ olur.
$\Longrightarrow D \ , \ C \ , \ E \ , \ H$ çemberseldir.
$\Longrightarrow \angle EDC=90^\circ$ İddiayı ispatladık.
$EF \perp MC$ olduğu için $A,M,D,E$ ve $B,M,D,F$ çemberseldir. $\angle MED=\alpha$ olduğu için $\angle MAD=\alpha$ olur. $\angle MFD=\beta$ dersek $\angle MBD=\beta$ olur. Dolayısıyla $\angle ADB= \angle EMF =180-\alpha-\beta$ dır. İspat biter.