Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Genç Balkan Matematik Olimpiyatı => 2015 => Konuyu başlatan: Eray - Haziran 28, 2015, 06:35:47 öö
-
$a, b, c$ pozitif reel sayıları $a+b+c=3$ koşulunu sağlasın.
$A=\dfrac{2-a^3}{a}+\dfrac{2-b^3}{b}+\dfrac{2-c^3}{c}$ toplamının en küçük değerini bulunuz.
-
En küçük değerin $A=3$ olduğunu ispatlayacağız.
$A=\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c} - (a^2 + b^2 + c^2) \ge 3$
$\Longleftrightarrow \dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c} - ((a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ac)) \ge 3$
$\Longleftrightarrow \dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c} + 2(ab+bc+ac) \ge 12$
$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} + ab+ bc + ac \ge 6$
Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği'nden, $\dfrac{1}{a} + bc \ge 2\sqrt{\dfrac{bc}{a}}$ dır.
Bu eşitsizliğin simetrikleri de uygulanırsa, $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} + ab+ bc + ac \ge 2(\sqrt{\dfrac{bc}{a}}+\sqrt{\dfrac{ac}{b}}+\sqrt{\dfrac{ab}{c}})$ olduğu görülür.
O halde $\sqrt{\dfrac{bc}{a}}+\sqrt{\dfrac{ac}{b}}+\sqrt{\dfrac{ab}{c}} \ge 3$ olduğunu gösterirsek ispat biter.
Eşitsizliğin her iki tarafının karesini alırsak,
$\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c} + 2(a+b+c) \ge 9$
$\Longleftrightarrow \dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c} \ge 3$
$\Longleftrightarrow \dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c} \ge a+b+c$
Ulaştığımız son eşitsizliği Yeniden Düzenleme Eşitsizliği yardımıyla ispatlayacağız.
Genelliği bozmadan $a\ge b\ge c$ olduğunu kabul edelim.
Bu durumda $ab\ge ac\ge bc$ ve $\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{1}{b}\ge \dfrac{1}{a}$ olur.
O halde Yeniden Düzenleme Eşitsizliği gereği $ab\cdot\dfrac{1}{c}+ac\cdot\dfrac{1}{b}+bc\cdot\dfrac{1}{a}\ge ab\cdot\dfrac{1}{b}+ac\cdot\dfrac{1}{a}+bc\cdot\dfrac{1}{c}=a+b+c$ elde edilir. $\blacksquare$
Eşitlik durumu, uyguladığımız A.G.O ve Y.D eşitsizliklerindeki eşitlik durumlarının sağlandığında geçerlidir. Bu da ancak $a=b=c=1$ iken mümkündür.