Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2015 => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Haziran 18, 2015, 05:44:38 ös
-
$a_{i}\in \left \{ 0,1 \right \}$ olmak üzere, kaç $(a_{1},a_{2}, \dots , a_{11})$ onbirlisi $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} \geq$ $a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}$ koşulunu sağlar?
$
\textbf{a)}\ 682
\qquad\textbf{b)}\ 758
\qquad\textbf{c)}\ 864
\qquad\textbf{d)}\ 956
\qquad\textbf{e)}\ 1024
$
-
(Mehmet Utku Özbek)
Yanıt:$\boxed{E}$
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$ ifadesinin alabileceği değerler $0,1,2,3,4,5$ tir. Durum inceleyelim. Durumları incelerken $1$ leri dağıtma amaçlı inceleyeceğiz. Örneğin $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=1$ ise $\dbinom{5}{1}$ diye.
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=0$ ise $a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}=0$ olamlıdır. $1$ durum.
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=1$ ise $a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}=0,1$ olmalıdır. Bu durumları sayarsak $\dbinom{5}{1}\cdot \left (\dbinom{6}{0}+\dbinom{6}{1} \right )=35$ durum
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=2$ ise $a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}=0,1,2$ olmalıdır. Bu durumları sayarsak $\dbinom{5}{2} \cdot \left (\dbinom{6}{0}+\dbinom{6}{1}+\dbinom{6}{2} \right )=220$ durum
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=3$ ise $a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}=0,1,2,3$ olmalıdır. Bu durumları sayarsak $\dbinom{5}{3} \cdot \left (\dbinom{6}{0}+\dbinom{6}{1}+\dbinom{6}{2}+\dbinom{6}{3} \right )= 420$ durum
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=4$ ise $a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}=0,1,2,3,4$ olmalıdır. Bu durumları sayarsak $\dbinom{5}{4} \cdot \left (\dbinom{6}{0}+\dbinom{6}{1}+\dbinom{6}{2}+\dbinom{6}{3}+\dbinom{6}{4} \right )= 285$ durum
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=5$ ise $a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}=0,1,2,3,4,5$ olmalıdır. Bu durumları sayarsak $\dbinom{5}{5} \cdot \left (\dbinom{6}{0}+\dbinom{6}{1}+\dbinom{6}{2}+\dbinom{6}{3}+\dbinom{6}{4}+\dbinom{6}{5} \right )= 63$ durum
Cevap $1+35+220+420+285+63=1024$ bulunur.
-
$a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} >$ $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ istenmeyen koşuldur. Toplamda $2^{11} = 2048$ onbirli olduğu için istenen koşulları bulmak için $2048$'den istenmeyen koşulları çıkartacağız.
$(a_{1},a_{2}, \dots , a_{10})$ onluları arasından $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 =$ $a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10}$ eşitliğini sağlayanların sayısı $x$ olsun. Bu durumda $a_{11} = 1$ olduğunda $x$ adet istenmeyen koşul elde edeceğiz.
Onluların sayısı $2^{10} = 1024$ olduğu için $a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} >$ $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ şeklindeki onluların sayısı $\dfrac {1024 - x}2$ dir. $a_{11}$ nasıl seçilirse seçilsin $a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} >$ $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ olacağı için $\dfrac {1024 - x}2 \cdot 2 = 1024 - x$ adet daha istenmeyen koşul elde ederiz.
Bu durumda tüm istenmeyen koşulların toplam sayısı $1024$, dolayısıyla istenen koşulların sayısı $2048 - 1024 = 1024$ olacaktır.
-
Soru 2005 yılında sorulan 12. soru ile benzerlik göstermektedir.
Bkz: http://geomania.org/forum/2005-162/tubitak-lise-1-asama-2005-soru-12/