Yanıt: $\boxed{E}$
$k=c-23$ olsun.
Denklem, $x^{23} - 2015^{2015}x - k = 0$ dır.
İddia 1: Denklemin en fazla üç gerçel kökü olabilir.
Bu iddianın doğruluğu, Descartes'in İşaret Değişim Kuralı yardımıyla veya $f(x)=x^{23}$ ve $g(x)=2015^{2015}x + k$ fonksiyonlarının grafikleri göz önüne alınarak görülebilir.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=4907.0;attach=14299;image)
O halde denklemin tam olarak üç farklı gerçel kökünün bulunmasını sağlayan $c$ tam sayılarının aritmetik ortasını arıyoruz.
İddia 2: Bir $k=k_0$ için denklemin $3$ farklı gerçel kökü varsa, $k=-k_0$ için de $3$ farklı gerçel kökü vardır.
İspat: $x_0$ sayısı $x^{23} - 2015^{2015}x - k_0 = 0$ denkleminin köküyse, $-x_0$ sayısı $x^{23} - 2015^{2015}x + k_0 = 0$ denkleminin köküdür. Çünkü $x$ yerine $-x$ yazıldığında önceki denklem elde ediliyor. Yani $k_0$ yerine $-k_0$ yazıldığında, denklemin köklerinin negatifleri yeni denklemin kökleri olur. Dolayısıyla kök sayısı korunur.
O halde, $-k = -c + 23 = (46-c) - 23 $ olduğundan, bir $c=c_0$ tamsayısı için denklemin üç farklı gerçel kökü varsa, $c=46 - c_0$ tamsayısı için de üç farklı gerçel kökü vardır.
Şartı sağlayan $c$ tam sayıları $c_1, c_2, \cdots, c_n, 46-c_1, 46-c_2, \cdots 46-c_n$ olsun. $c_i$ sayıları arasında $23$ varsa, $23$ ü iki kez yazdık demektir. Ancak olsa da olmasa bu sayıların aritmetik ortalaması $23$ tür.