Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2015 => Konuyu başlatan: mehmetutku - Haziran 18, 2015, 03:58:00 ös
-
Düzlemdeki $n$ doğrunun her biri diğer doğruların tam olarak $2015$ tanesiyle kesişiyorsa, $n$ kaç farklı değer alabilir?
$\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ 10
$
-
(Mehmet Utku Özbek)
Yanıt: $\boxed{D}$
$n$ tane doğruyu maksimum sayıda kümeye ayıralım. Öyle ki her kümedeki doğrular kendi içlerinde birbirlerine paralel olsun. O zaman bir kümedeki bir doğru kendi kümesindeki doğrular dışında bütün doğruları kesmektedir. Kümelerin sayısı $k$ olsun. Her kümedeki doğru sayısı $1\leq i \leq k$ olmak üzere $a_i$ olsun. Birinci kümedeki bir doğru için yazarsak $a_2+a_3+\cdots+a_k=2015$ olur. İkinci kümedeki bir doğru için yazarsak $a_1+a_3+\cdots+a_k=2015$ olur. $k.$ kümedeki bir doğru için yazarsak $a_1+a_2+\cdots+a_{k-1}=2015$ olur. Her bir kümedeki bir doğru için yazılan denklemleri taraf tarafa toplarsak $(k-1)\cdot(a_1+a_2+\cdots+a_k)=2015\cdot k$ olur. $a_1+a_2+\cdots+a_k=n$ olduğunu biliyoruz. O zaman $(k-1)\cdot n=2015\cdot k$ olur. $k$ ile $k-1$ aralarında asal olduğu için $k-1 \mid 2015$ olmalı. Ve her $k-1$ değeri için bir $n$ değeri vardır. Yani cevap $2015$ in pozitif bölenlerinin sayısı kadardır. $2015=5\cdot13\cdot31$ olduğu için cevap $8$ dir.
NOT: Bu soru daha önce 2004 yılında 31. soru (https://geomania.org/forum/index.php?topic=4130.0) olarak $2015$ yerine $2004$ yazılarak sorulmuştur.