Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Balkan Matematik Olimpiyatı => 2015 => Konuyu başlatan: Eray - Mayıs 06, 2015, 12:06:32 öö
-
Her hangi $20$ ardışık pozitif tam sayı arasında bulunan öyle bir $d$ tam sayısının olduğunu gösteriniz k, her $n$ pozitif tam sayısı için $$n\sqrt d \{n\sqrt d\} > \dfrac{5}{2}$$eşitsizliği doğru olsun. Burada $\{x\}$ ile $x$ gerçel sayısının kesirli kısmı gösterilmiştir. Bir $x$ gerçel sayısının kesirli kısmı, $x$ ile $x$ den küçük veya eşit en büyük tam sayının farkına eşittir.
-
$d\equiv 15\pmod {20}$ olan bir $d$ değeri için sağlayacağını gösterelim. Burada $d$, $5$'in bir katıdır ve $d\equiv 3\pmod 4$ olduğundan en az $1$ tane $4k+3$ formatında asal böleni vardır ve tam kare değildir. $\lfloor n\sqrt{d}\rfloor =m$ olsun.($\lfloor x\rfloor$ tamdeğer fonksiyonudur.) $$n\sqrt{d}\left \{n\sqrt{d}\right \}=n\sqrt{d}\left ( n\sqrt{d}-m\right )=\left (n\sqrt{d}\right )\dfrac{n^2d-m^2}{n\sqrt{d}+m}>\left (n\sqrt{d}\right )\dfrac{n^2d-m^2}{2n\sqrt{d}}=\dfrac{n^2d-m^2}{2}$$ olur. $n^2d>m^2$ olduğunu biliyoruz. Şimdi şu durumları inceleyelim,
i) $n^2d=m^2+1$ ise $d$'yi bölen $4k+3$ formatında bir $p$ asal sayısı olduğunu biliyoruz, $p$ için $m^2\equiv -1\pmod p$ olur. Çelişki
ii) $n^2d=m^2+2$ ise $d$, $5$'e bölündüğünden $m^2\equiv 3\pmod 5$ olur. Çelişki
ii) $n^2d=m^2+3$ ise $d$, $5$'e bölündüğünden $m^2\equiv 2\pmod 5$ olur. Çelişki
iv) $n^2d=m^2+4$ ise $p$ için $\left (\dfrac{m}{2}\right )^2\equiv -1\pmod p$ olur. Çelişki
dolayısıyla $n^2d\geq m^2+5$ olur. Buradan $$n\sqrt{d}\left \{n\sqrt{d}\right \}>\dfrac{n^2d-m^2}{2}\geq \dfrac{5}{2}$$ $$n\sqrt{d}\left \{n\sqrt{d}\right \}>\dfrac{5}{2}$$ bulunur. Dolayısıyla ardışık $20$ sayıdan $d\equiv 15\pmod {20}$ olanı eşitsizliği sağlar.