Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Balkan Matematik Olimpiyatı => 2015 => Konuyu başlatan: Eray - Mayıs 05, 2015, 11:55:29 ös
-
$a, b$ ve $c$ pozitif gerçel sayılar olsun. $$a^3b^6 + b^3c^6 + c^3a^6 + 3a^3b^3c^3 \ge abc(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3) + a^2b^2c^2(a^3+b^3+c^3)$$ eşitsizliğini ispatlayınız.
-
(Mehmet Utku Özbek)
Schur Eşitsizliği: $x,y,z$ negatif olmayan reel sayılar ve $n \gt 0$ olmak üzere,
$x^{n}(x-y)(x-z)+y^{n}(y-x)(y-z)+z^{n}(z-x)(z-y) \ge 0$ eşitsizliği sağlanır. Eşitlik durumu $x=y=z=0$ olduğunda mümkündür.
Özel olarak $n=1$ alınıp açılırsa $x^3+y^3+z^3+3xyz \ge x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)$ olur.
Şimdi sorudaki ifadede $x=ab^2 \ , \ y=bc^2 \ , \ z=ca^2$ dönüşümü yapalım. O zaman Schur eşitsizliğinden;
$a^3b^6 + b^3c^6 + c^3a^6 + 3a^3b^3c^3=x^3+y^3+z^3+3xyz \ge x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)=abc(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3) + a^2b^2c^2(a^3+b^3+c^3)$ bulunur. İspat biter.
-
(Mehmet Utku Özbek)
Schur Eşitsizliği: $x,y,z$ negatif olmayan reel sayılar ve $n \gt 0$ olmak üzere,
$x^{n}(x-y)(x-z)+y^{n}(y-x)(y-z)+z^{n}(z-x)(z-y) \ge 0$ eşitsizliği sağlanır. Eşitlik durumu $x=y=z=0$ olduğunda mümkündür.
Özel olarak $n=1$ alınıp açılırsa $x^3+y^3+z^3+3xyz \ge x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)$ olur.
Şimdi sorudaki ifadede $x=ab^2 \ , \ y=bc^2 \ , \ z=ca^2$ dönüşümü yapalım. O zaman Schur eşitsizliğinden;
$a^3b^6 + b^3c^6 + c^3a^6 + 3a^3b^3c^3=x^3+y^3+z^3+3xyz \ge x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)=abc(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3) + a^2b^2c^2(a^3+b^3+c^3)$ bulunur. İspat biter.
Schur Eşitsizliği'nde eşitlik ayrıca
$$(x,y,z)=(a,a,0)$$
ve permütasyonları için de sağlanır.
Ayreten, orijinal soruda $x,y,z$ pozitif reeller yerine negatif olmayan reeller olsaydı eşitsizlik yine çalışırdı.