Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı => 2015 => Konuyu başlatan: Eray - Nisan 16, 2015, 08:04:17 ös
-
Dar açılı $\triangle ABC$ üçgeninde $C$ köşesinden çizilen dikmenin ayağı $D$ noktasıdır. $\angle ABC$ açısının iç açıortayı, $CD$ yi $E$ noktasında, $\triangle ADE$ nin çevrel çemberi $\omega$ yı yeniden $F$ noktasında kesiyor. $\angle ADF=45^\circ$ ise $CF$ nin $\omega$ ya teğet olduğunu gösteriniz.
-
(Mehmet Utku Özbek)
$\angle ADF=\angle CDF=45^\circ$ ve $\angle DBF=\angle CBF$ olduğu için ve iki dış açıortay ve bir iç açıortay bir noktada kesiştiği için $\triangle DBC$ de $CF$ doğrusu $\angle DCB$ nin dış açıortayıdır. $\angle DBF=\angle CBF=\alpha$ olsun. $\angle DEF=90+\alpha$ ve $\angle CEF=90-\alpha$ olur. $CF$ dış açıortay olduğu için $\angle ECF=\dfrac{90+2\alpha}{2}=45+\alpha$ olur. O zaman $\triangle ECF$ de $\angle EFC=45^\circ$ olur. $\angle EDF=\angle EFC=45^\circ$ olduğu için $CF \ , \ \omega$ ya teğettir. İspat biter.