Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise Takım Seçme => 2015 => Konuyu başlatan: mehmetutku - Nisan 02, 2015, 09:53:10 ös
-
$|AB|=|AC|$ koşulunu sağlayan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin küçük $AB$ ve $AC$ yayları üzerinde sırasıyla üçgenin köşelerinden farklı $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $AD$ ve $BC$ doğrularının kesişme noktası $F$, $AE$ doğrusunun $FDE$ üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez kestiği nokta ise $G$ olsun. $AC$ doğrusunun $ECG$ üçgeninin çevrel çemberine teğet olduğunu gösteriniz.
(Şahin Emrah)
-
(Mehmet Utku Özbek)
İspatlamamız gereken $|AC|^2=|AE|\cdot |AG|$ olduğudur. $F \ , \ D \ , \ E \ , \ G$ çemberseldi. Dolayısıyla $|AE|\cdot |AG|=|AD|\cdot |AF|$ dir. $|AB|=|AC|$ olduğu için $|AB|^2=|AD|\cdot |AF|$ olduğunu ispatlarsak soru biter. Yani $AB$
doğrusunun $FDB$ üçgeninin çevrel çemberine teğet olduğunu ispatlamalıyız. $\angle DFB= \alpha \ , \ \angle DBA=\beta \ , \ \angle DAB=\theta$ olsun. $\alpha=\beta$ olduğunu ispatlamalıyız. $\angle ABC=\angle ACB=\alpha + \theta$ olur. Aynı yayı gördükleri
için $\angle DAB= \angle DEB=\theta$ olur. Benzer şekilde $\angle DBA=\angle DEA=\beta $ olur. Yani $\angle AEB= \beta + \theta$ olur. Yine aynı yayı gördükleri için $\angle ACB=\angle AEB$ olur. Yani $\alpha + \theta=\beta + \theta$ olur. Dolayısıyla $\alpha=\beta$ olur. İspat biter.