Yarışma Soruları => Tübitak Lise Takım Seçme => 2015 => Konuyu başlatan: mehmetutku - Nisan 02, 2015, 09:30:25 ös
Başlık: Tübitak Lise Takım Seçme 2015 Soru 1
Gönderen: mehmetutku - Nisan 02, 2015, 09:30:25 ös
$l, m, n$ pozitif tam sayılar ve $p$ bir asal sayı olmak üzere, $$p^{2l-1}m(mn+1)^2+m^2$$ bir tam kare ise, $m$ nin de bir tam kare olduğunu gösteriniz.
(Şahin Emrah, Melih Üçer)
Başlık: Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 2015 Soru 1
Gönderen: mehmetutku - Nisan 11, 2015, 06:59:02 ös
(Mehmet Utku Özbek)
İfadeyi $m$ parantezine alalım.
$\Longrightarrow m[\ p^{2l-1}(mn+1)^2+m]=x^2$
Eğer $m$ tam kare değilse $m$ in ikinci parantezi bölmesi gerekir. $m$ ile $(mn+1)^2$ aralarında asal olduğu için $m \mid p^{2l-1}$ olmalıdır. O zaman $m=p^a$ formundadır. Eğer $a$ nın tek olmaması gerektiğini gösterirsek ispat biter. Şimdi ifadede $m=p^a$ yazalım.
Dolayısıyla son ifadedeki ikinci parantez de tam kare olmalıdır.
$\Longrightarrow p^{2l-a-1}(p^{a}n+1)^2+1=y^2$
Eğer $a$ tek olursa $2l-a-1$ çift olacağından ifade aslında $c=p^{\tfrac{2l-a-1}{2}}(p^{a}n+1)$ olmak üzere $c^2+1=y^2$ halindedir. Bunun da pozitif tamsayılarda çözümü yoktur. Yani $a$ tek olamaz. İspat biter.
Başlık: Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 2015 Soru 1
Gönderen: kriptoman - Ekim 31, 2015, 05:12:50 ös
"Eğer m tamkare değilse m ikinci parantezi bölmesi gerekir" kısmı hatalı olmuş.
Başlık: Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 2015 Soru 1
Gönderen: AtakanCİCEK - Ağustos 18, 2019, 12:36:05 ös
$m$ nin asal çarpanlarına ayrılmış halinde kuvveti tek olan en az bir asal çarpanı vardır. deyip bu sayı ile bölerlik testleri yapılmalı diye düşünüyorum.
Başlık: Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 2015 Soru 1
Gönderen: Squidward - Ağustos 18, 2019, 01:52:39 ös
$m[\ p^{2l-1}(mn+1)^2+m]=x^2$ ifadesinde $q$ bir asal olsun, $m$'yi bölsün ve $q \ne p$ olsun, $q$ köşeli parantezle aralarında asaldır yani $q$'nun üssü çifttir, şimdi incelenmesi gereken $p$ asalının üssüdür.
Eğer $p$'nin üssü çift ise kanıt biter, $m$ tamkaredir.
Eğer $p$'nin üssü tek ise m, $m = p^{2k+1} \cdot A^2$, $OBEB(p, A) = 1$ şeklinde yazılabilir. $A^2 \cdot p^{2k+1}[\ p^{2l-1}(mn+1)^2+m]$ ifadesinin tam kare olabilmesi için $p^{2l}(mn+1)^2+pm=(p^l(mn+1))^2+pm$ ifadesinin tam kare olabilmesi gerekir fakat $(p^l(mn+1) +1)^2 > (p^l(mn+1))^2+pm > (p^l(mn+1))^2$ yani ifade tam kare olamaz, gösterilmek istenen de buydu. $\blacksquare$