Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Mart 08, 2015, 12:50:49 ös
-
Problem 1: $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$ olmak üzere $2\cos\alpha = \sqrt{2-\sqrt{2+2\cos\alpha}}$ ise $\alpha$ kaç derecedir?
Problem 2: $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$ olmak üzere $2\sin\alpha = \sqrt{2+\sqrt{2+2\sin\alpha}}$ ise $\alpha$ nın alabileceği değerlerin toplamı kaç derecedir?
Lokman GÖKÇE
-
Problem 1 için 1. Çözüm:
$2\cos\alpha = \sqrt{2-\sqrt{2+2\cos\alpha}}$
$\Longrightarrow 2\cos\alpha = \sqrt{2-\sqrt{2+2 ( 2 \cos^2 {\dfrac{\alpha}{2}} -1}) } $
$\Longrightarrow 2\cos\alpha = \sqrt{2-2\cos{\dfrac{\alpha}{2}} } $
$\Longrightarrow 2\cos\alpha = \sqrt{2-2(1-2\sin^2{\dfrac{\alpha}{4}}) } $
$\Longrightarrow 2\cos\alpha = 2\sin{\dfrac{\alpha}{4}} $
olup $\alpha + \dfrac{\alpha}{4} = 90^\circ$ ve buradan $\alpha = 72^\circ$ elde edilir.
-
Problem 1 için 2. Çözüm:
$2\cos\alpha = \sqrt{2-\sqrt{2+2\cos\alpha}}$ ifadesinde $x=2\cos\alpha$ dönüşümü yapalım. $0 \leq x \leq 2$ dir.
Denklem: $x=\sqrt{2-\sqrt{2+x}}$ biçimine gelir. Kare alma işlemleriyle $(x^2-2)^2= 2+x$ olup $x^4-4x^2-x+2=0$ dördüncü dereceden denklemi elde edilir.
Bu denklemin iki kökünün $x=-1$ ve $x=2$ olduğunu görmek kolaydır. Ancak bu değerler $x=\sqrt{2-\sqrt{2+x}}$ denklemini sağlamaz.
$x^4-4x^2-x+2$ polinomunda $(x+1)(x-2)$ çarpanı vardır ve polinom bölmesi yapılırsa $x^4-4x^2-x+2=(x+1)(x-2)(x^2+x-1)$ olduğu görülür.
$x^2+x-1=0$ denkleminin pozitif kökü $x=\dfrac{\sqrt5 -1}{2}$ dir. Buradan $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt5 -1}{4}$ olup $\alpha = 72^\circ$ elde edilir.
-
Problem 2 İçin 1. Çözüm: $\alpha = 90^\circ - \beta$ dönüşümü yapalım.
$2\sin\alpha = \sqrt{2+\sqrt{2+2\sin\alpha}}$
$\Longrightarrow 2\cos\beta = \sqrt{2+\sqrt{2+2\cos\beta}}$
$\Longrightarrow 2\cos\beta = \sqrt{2+\sqrt{2+2 ( 2 \cos^2 {\dfrac{\beta}{2}} -1}) } $
$\Longrightarrow 2\cos\beta = \sqrt{2+2\cos{\dfrac{\beta}{2}} } $
$\Longrightarrow 2\cos\beta = \sqrt{2+2(2\cos^2{\dfrac{\beta}{4}}-1) } $
$\Longrightarrow 2\cos\beta = 2\cos{\dfrac{\beta}{4}} $
olup $\beta = \dfrac{\beta}{4} $ tür. Buradan $\beta = 0^\circ$ olup tek değer $\alpha = 90^\circ$ elde edilir.
-
Problem 2 İçin 2. Çözüm:
$2\sin\alpha = \sqrt{2+\sqrt{2+2\sin\alpha}}$ denkleminde $x=2\sin \alpha$ dönüşümü yaparsak $0 \leq x \leq 2$ olup denklem:
$x = \sqrt{2+\sqrt{2+x}}$ biçimine gelir. Bu denklemde $x \geq \sqrt2$ olduğu aşikardır. Kare alma işlemleriyle $(x^2-2)^2=2+x$ yazarız. Düzenlersek
$x^4 - 4x^2 -x + 2 = 0$ dördüncü dereceden denklemi elde edilir. Önceki problemde olduğu gibi $x=-1$ ve $x=2$ kökleri yardımıyla
$(x+1)(x-2)(x^2+x-1)=0$ şeklinde çarpanlara ayrılmış halde yazabiliriz. $x=2$ değerinin orijinal denklemi sağladığını görmek kolaydır.
$x^2+x-1=0$ denkleminin pozitif kökü $x=\dfrac{\sqrt5-1}{2}$ dir. Ancak bu kök $x \geq \sqrt2$ şartına uygun değildir.
O halde tek çözüm $x=2$ dir. Buna göre $2\sin\alpha = 2$ ve $\alpha = 90^\circ$ elde edilir.