Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Mart 03, 2015, 03:36:46 ös
-
Bir üçgenin, uzunlukları $15$, $20$, $c$ olan kenarlarına ait yüksekliklerinin uzunlukları sırasıyla, $h_a$, $h_b$, $h_c$ olmak üzere $h_a \geq 5 + h_b$ ise, $h_a+h_b+h_c-c$ ifadesinin değeri nedir?
(Lokman GÖKÇE)
-
$h_a = 4x$ olsun. $h_b = 3x$ olur. $h_a \leq 20$ dir. Eşitlik durumu $A$ açısı $90^\circ $ iken mümkündür. O halde $x \leq 5$ tir. Soruda verilen eşitsizlikten de $x \geq 5$ bulunur. $x = 5$ tir. Bu durumda $A$ açısı $90^\circ $ ve $c = 25$ tir. $h_a + h_b + h_c - c = 15 + 20 + 12 - 25 = 22$ bulunur.
-
Lemma: Kenar uzunlukları $a>b$ ve bu kenarlara ait yükseklikleri $h_a$, $h_b$ olan bir üçgende $a+h_a \geq b+h_b $ dir. Ayrıca eşitlik durumunun sağlanması için gerek ve yeter koşul $a$, $b$ uzunluklarına sahip bu iki kenarın birbirine dik olmasıdır.
İspatı sinüslü alan formülüyle kolayca görülebilen bu lemmayı kullanarak problemimize cevap verebiliriz. $15 + h_a \leq 20 + h_b$ olmalıdır. Böylece $h_a \leq 5 + h_b $ dir. Öte taraftan problemimizde $h_a \geq 5 + h_b $ verilmiştir. Böylece $$ h_a = 5 + h_b $$ eşitlik durumu oluşur. Bu ise ancak ve ancak $c$ hipotenüs uzunluğuna sahip dik üçgen oluştuğunda vardır. $c=25$, $h_a=b=20$, $h_b=a=15$ ve $h_c=12$ olduğunu hesaplamak kolaydır. Böylece $h_a + h_b + h_c - c = 20 + 15 + 12 - 25 = 22 $ elde edilir.