Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Şubat 20, 2015, 11:46:57 ös
-
$m(\widehat{ABC})=45^\circ$ olan dar açılı $ABC$ üçgeninde $[AD]$, $[BE]$, $[CF]$ yükseklikleri $H$ noktasında kesişiyor. $H$ noktasının $DF$ doğrusuna uzaklığı $2$ ise, $|DE|+|EF|-|DF|$ ifadesinin değeri nedir?
(L. Gökçe)
-
(Mehmet Utku Özbek)
Bir $ABC$ üçgeninde $[AD], \ [BE], \ [CF]$ yükseklikleri çizilirse $DEF$ üçgeninde $[AD], \ [BE], \ [CF]$ açıortaylar olur. İspatı kirişler dörtgenlerini kullanarak çok basittir. Bu lemmayı kullanacağız. O zaman bu soruda da $H$ noktası
$DEF$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olur. $H$ den $DF, \ FE, \ DE$ ye inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $G, \ I, \ J$ olsun. Dolayısıyla $[HG], \ [HI], \ [HJ]$ doğru parçalarının üçü de $DEF$ üçgeninin iç teğet çemberinin
yarıçapıdır ve uzunlukları $2$ dir. Bu iç teğet çember kenarlara $G, \ I, \ J$ noktalarında teğettir. O zaman $|DG|=a$ dersek $|DJ|=a$ olur. Benzer şekilde $|FG|=b$ dersek $|FI|=b$ olur ve $|EI|=c$ dersek $|EJ|=c$ olur.
İstenen ifade $|DE|+|EF|-|DF|= (c+a)+(c+b)-(a+b)=2c$ olur. O zaman $2c$ nin değerini bulursak soru biter. $\angle ABC=45^\circ$ olduğu için $\angle FAD=\angle FCD=45^\circ$ olur. $FAEH$ ve $DCEH$ kirişler dörtgeni
olduğu için $\angle FEH= \angle DEH= 45^\circ$ olur. O zaman $HJE$ ve $HIE$ ikizkenar dik üçgen olur. Herhangi birine baksak yeter. $HJE$ üçgeninde $|HJ|=2$ idi. O zaman $|EJ|=c=2$ olur. Bizden istenen ise $2c=4$ olarak
bulunur.
-
Problemimizin çözümü şu kolay lemmaya dayanıyor.
Lemma: Bir dik üçgende, iç teğet çemberin yarıçapının $2$ katı, dik kenarların uzunlukları toplamından hipotenüsün uzunluğunun çıkarılmasına eşittir.
İspatı yukarıda detaylıca verilmiştir. $H$ diklik merkezi $DEF$ ortik üçgeninin iç teğet çember merkezidir. Diğer bir deyişle $r_{DEF}=2$ verilmiştir. Geriye $m(\widehat{DEF})=90^\circ $ olduğunu göstermek kalıyor. $B$ noktası $DEF$ ortik üçgeni için bir dış teğet çember merkezi olduğundan $$ m(\widehat{ABC})= 90^\circ - \frac{m(\widehat{DEF})}{2} $$ eşitliği vardır. $m(\widehat{ABC})=45^\circ $ olduğundan $m(\widehat{DEF})=90^\circ $ elde edilir. Böylece $|DE|+ |EF| - |DF|= 2\cdot r_{DEF}=4$ olur.