Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Balkan Matematik Olimpiyatı => 2012 => Konuyu başlatan: geo - Ocak 17, 2015, 10:41:10 ös
-
Tüm $x$, $y$ ve $z$ pozitif gerçel sayıları için, $$\sum_{\text{cyc}} (x + y)\sqrt {(z + x)(z + y)} \ge 4(xy + yz + zx),$$ olduğunu kanıtlayınız.
Yukarıdaki notasyonda sol taraftaki ifade $$(x + y)\sqrt {(z + x)(z + y)} + (y + z)\sqrt { (x + y)(x + z)} + (z + x)\sqrt {(y + z)(y + x)}$$ toplamını göstermektedir.
-
(Mehmet Utku Özbek)
Cauchy-Schwarz uygulayalım.
$\Longrightarrow \sqrt {(z + x)(z + y)} \ge z+\sqrt{xy}$ Bunu bütün terimlere yapalım:
$\Longrightarrow (x + y)\sqrt {(z + x)(z + y)} + (y + z)\sqrt { (x + y)(x + z)} + (z + x)\sqrt {(y + z)(y + x)} \ge (x+y)(z+\sqrt{xy})+(x+z)(y+\sqrt{xz})+(y+z)(x+\sqrt{yz})$ Son ifadeyi açalım:
$\Longrightarrow (x+y)(z+\sqrt{xy})+(x+z)(y+\sqrt{xz})+(y+z)(x+\sqrt{yz}) = 2xy+2xz+2yz+x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}+x\sqrt{xz}+z\sqrt{xz}+y\sqrt{yz}+z\sqrt{yz}\ \ge \ 4(xy+yz+xz)$ olduğunu ispatlarsak soru biter.
$\Longrightarrow x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}+x\sqrt{xz}+z\sqrt{xz}+y\sqrt{yz}+z\sqrt{yz} \ge 2(xy+yz+xz)$ olduğunu göstermeliyiz. İkişer ikişer A.G.O yapalım.
$\Longrightarrow x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy} \ge 2\sqrt{xy\sqrt{x^2y^2}}= 2xy$ Benzer şekilde ;
$\Longrightarrow x\sqrt{xz}+z\sqrt{xz} \ge 2\sqrt{xz\sqrt{x^2z^2}}= 2xz$
$\Longrightarrow y\sqrt{yz}+z\sqrt{yz} \ge 2\sqrt{yz\sqrt{y^2z^2}}= 2yz$
Bu son üç eşitsizlik taraf tarafa toplanırsa istenen ifadeyi elde ederiz.
-
Genelleştirilmiş Balkan MO 2012 #2 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=8731.msg23850;topicseen#new)