(Mehmet Utku Özbek)
$\angle ACB= \alpha$ dersek $\angle AHB=180-\alpha$ olur. $ABKC$ çembersel olduğu için $\angle ACB= \angle AKB=\alpha$ olur. $ALBK$ deltoid olduğu için $\angle AKB=\angle ALB=\alpha$ olur. Dolayısıyla $ALBH$ çemberseldir. Şimdi $AH$ ı çizelim
ve $\Gamma$ yı ikinci kez kestiği noktaya $G$ diyelim. $AG \cap BC ={F}$ olsun. Diklik merkezinin kuralı gereği $|HF|=|FG|$ dir. $AG // MK$ olduğu için $HMKG$ ikizkenar yamuktur ve $BC$ bu ikizkenar yamuğun simetri eksenidir.
Dolayısıyla $HK$ ve $MG$ köşegenleri , $BC$ üzerinde kesişir. $AB \cap LK= P$ ve $MK \cap BC=R$ olsun. $\angle PBC=\beta$ ve $\angle KBC=\theta$ diyelim. $\angle LBP= \angle PBK$ olduğu için $\angle PBL= \beta + \theta$ olur. $\angle PLB=90-\beta-\theta$
olur. $PRKB$ kirişler dörtgeni olduğu için $\angle RBK=\angle RPK=\theta$ olur. $|LP|=|PK|$ ve $|MR|=|RK|$ olduğu için $PR // ML$ dir. O zaman $\angle MLK=\theta$ olur ve
$\angle BLM= \angle MLK+\angle PLB=90-\beta-\theta+\theta=90-\beta$ olur. $\triangle ABF$ de $\angle ABF=\beta$ olduğu için $\angle BAF=90-\beta$ olur. $ALBH$ nin çembersel olduğunu bulmuştuk. Ve $\angle BAF=\angle BLM=90-\beta$ olduğunu bulduk.
O zaman $AF \cap LM= H$ olmalıdır. Yani $H \ \ , \ \ LM$ nin üstündedir. $LBME$ çemberselmiş. O zaman $\angle BAH=\angle BLM=\angle BEM=90-\beta$ dir.
Şimdi dikkatli bir şekilde bakalım. $\angle BAH$ açısı $BG$ yayını görüyor ve derecesi $90-\beta$ . $\angle BEM$ açısının ölçüsü de $90-\beta$ . O zaman $EM$ doğrusu $G$ den geçmelidir. Yani $G \ , \ M \ , \ E$ noktaları doğrusaldır.
$KH \ , \ MG \ , \ BC$ nin noktadaş olduğunu göstermiştik. $MG$ doğrusu ile $EM$ doğrusunun aynı olduğunu gösterdik. İspat bitti.
(http://geomania.org/forum/2012-186/avrupa-kizlar-matematik-olimpiyati-2012-soru-7/?action=dlattach;attach=14208;image)