Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı => 2012 => Konuyu başlatan: geo - Ocak 17, 2015, 01:54:50 ös
-
Suratkitabı sosyal ağında sonsuz çoklukta üye kayıtlıdır. Bazı üye çiftleri arkadaş olarak kayıtlıdır, ama her üyenin sonlu sayıda arkadaşı vardır. Her üyenin en az bir arkadaşı vardır. (Arkadaşlık simetriktir;
yani, $A$, $B$ nin arkadaşı ise, $B$ de $A$ nın arkadaşıdır.)
Her üyenin bir arkadaşını en iyi arkadaşı olarak belirlemesi gerekmektedir. $A$, $B$ yi en iyi arkadaşı olarak belirlerse, (maalesef) $B$ nin de $A$ yı en iyi arkadaşı olarak belirlemesi gerekmemektedir. En iyi arkadaş olarak belirlenmiş bir üyeye $1$-en iyi arkadaş denilmektedir. Daha genel olarak, $n > 1$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $(n - 1)$-en iyi arkadaş olan bir üyenin en iyi arkadaşı olan bir üyeye $n$-en iyi arkadaş denilmektedir. Tüm $k$ pozitif tam sayıları için $k$-en iyi arkadaş olan bir üyeye popüler denilmektedir.
- Her popüler üyenin başka en az bir popüler üyenin en iyi arkadaşı olduğunu kanıtlayınız.
- Üyelerin sonsuz çoklukta arkadaşı olmasına izin verilseydi, bir popüler üyenin hiçbir popüler üyenin en iyi arkadaşı olmamasının mümkün olduğunu gösteriniz.