Geomania.Org Forumları

Üniversite Hazırlık Geometri => Üniversite Hazırlık Geometri => Konuyu başlatan: adanali - Ekim 12, 2014, 12:40:33 öö

Başlık: üçgende açı (100-40-40)
Gönderen: adanali - Ekim 12, 2014, 12:40:33 öö

$m(\widehat{BAC})=100^\circ$ olan $ABC$ üçgeninde $|AB|=|DC| \ , \ |AD|=|AC|$ olacak şekilde $D\in[AB]$ noktası alınıyor.
Buna göre, $m(\widehat{ABC})$ nedir?

Başlık: Ynt: üçgende açı (100-40-40)
Gönderen: ERhan ERdoğan - Ekim 12, 2014, 02:31:32 öö

$[DC]$ kenarı üzerine $EDC$ eşkenar üçgeni inşaa edelim.$ADEC$ deltoit olacağından $AE$ açıortay olur.Açı ve kenar değerlerini incelediğimizde $ABC$ ile $CEA$ üçgenlerinin eş olduklarını görebiliriz. Bu eşlikten $m(\widehat{ABC})=m(\widehat{CEA})=30^\circ$ dir.

Başlık: Ynt: üçgende açı (100-40-40)
Gönderen: geo - Şubat 22, 2025, 11:45:29 öö

$ACD$ üçgeninde $CE$ açıortay olsun.

size(11cm);

// adanali sorusu: ABC ucgeni, m(BAC)=100. D in [AB], |AD|=|AC|, |AB|=|DC|.
// Cevap: m(ABC)=30.  Orijinal: SIYAH.  Cozum eklentileri: KIRMIZI.

pair B = (0,0);
pair C = (7,0);
pair A = extension(B, B+dir(30), C, C+dir(130));   // B=30, C=50, A=100

real AC = length(C-A);
pair D = A + AC*unit(B-A);                          // D in [AB], AD=AC

// --- ORIJINAL PROBLEM (siyah) ---
draw(A--B--C--cycle);
draw(D--C);
markangle("$100^\circ$", B, A, C, 0.5, black);
markangle("$30^\circ$",  C, B, A, 0.7, red);

// --- COZUM (kirmizi) ---
pair E = extension(C, bisectorpoint(A, C, D), A, D);   // ACD'de CE acortay
path cc = circumcircle(A, C, E);                        // ACE cevrel cemberi
pair[] fs = intersectionpoints(cc, C--D);               // CD'yi F'de keser
pair F = fs[0];
if (length(fs[0]-C) < 0.05) F = fs[1];

draw(cc, red);
draw(C--E, red);
draw(A--E, red);
draw(E--F, red);
draw(A--F, red);

dot(A); dot(B); dot(C); dot(D);
dot(E, red); dot(F, red);
label("$A$", A, N);
label("$B$", B, SW);
label("$C$", C, SE);
label("$D$", D, NW);
label("$E$", E, N, red);
label("$F$", F, SW, red);

$ACE$ üçgeninin çevrel çemberi $CD$ yi $F$ de kessin. $\angle EFC = \angle CEF = 80^\circ$, $\angle EAF = \angle ECF = \angle ACE = \angle EFA = 20^\circ$ ve $\angle EDF = \angle ACF = \angle DEF = 40^\circ$. Dolayısıyla, $AE=EF=FD$ ve $EC=FC$.

$FD + EC = FD + FC = CD = AB = AE + EB = FD + EB \Longrightarrow EB=EC$.
$\angle EBC = \angle ECB = \dfrac {\angle AEC}{2} = 30^\circ$. $\blacksquare$

Başlık: Ynt: üçgende açı (100-40-40)
Gönderen: geo - Şubat 22, 2025, 11:53:53 öö

$ACD$ üçgeninde $CE$ açıortay olsun.
$A$ nın $CE$ ye göre simetriği $F$ olsun.

size(12cm);

// adanali sorusu (m(BAC)=100, AD=AC, AB=DC -> m(ABC)=30)
// Cozum: ACD'de CE acortay; F = A'nin CE'ye gore simetrigi.
// Orijinal: SIYAH.  Cozum eklentileri: KIRMIZI.

pair B = (0,0);
pair C = (7,0);
pair A = extension(B, B+dir(30), C, C+dir(130));   // B=30, C=50, A=100

real AC = length(C-A);
pair D = A + AC*unit(B-A);                          // D in [AB], AD=AC

pair E = extension(C, bisectorpoint(A, C, D), A, D);
pair F = reflect(A, C, E);                          // CD uzerine duser

// --- ORIJINAL PROBLEM (siyah) ---
draw(A--B--C--cycle);
draw(D--C);

// markangle yerine anglemark + label mekanizmasi
draw(anglemark(B, A, C));
label("$100^\circ$", anglemark(B, A, C), 1.4*S-0.5);
draw(anglemark(C, B, A));

// --- COZUM (kirmizi) ---
draw(C--E, red);
draw(A--E, red);
draw(E--F, red);
draw(B--F, red);
draw(E--B, red);

draw(anglemark(D, F, B, 14), red);
label("$20^\circ$", anglemark(D, F, B, 1.80), 5.6*dir(180), red);
draw(anglemark(D, E, F), red);
label("$60^\circ$", anglemark(D, E, F, 0.5), 2.2*dir(240), red);
draw(anglemark(F, E, C), red);
label("$60^\circ$", anglemark(F, E, C, 0.5), 2.2*dir(300), red);

dot(A); dot(B); dot(C); dot(D);
dot(E, red); dot(F, red);
label("$A$", A, N);
label("$B$", B, SW);
label("$C$", C, SE);
label("$D$", D, NW);
label("$E$", E, N, red);
label("$F$", F, SE, red);

$AE=EF$, $AC=CF$, $DF = DC - FC = AB - AC = AB - AD = DB$. Dolayısıyla, $\angle DBF = \angle DFB = \dfrac {\angle ADC}{2} = 20^\circ$.

$\angle AEC = \angle FEC = \angle FED = 60^\circ$ olduğu için $(AA)$ dan $\triangle FEC \cong \triangle FEB$ dir. Bu durumda $EB=EC$ ve $\angle EBC = 30^\circ$ olur.

Başlık: Ynt: üçgende açı (100-40-40)
Gönderen: Seyit Çetin - Şubat 22, 2025, 11:27:21 ös

100-40-40

Başlık: Ynt: üçgende açı (100-40-40)
Gönderen: Seyit Çetin - Şubat 22, 2025, 11:53:18 ös

100-40-40