Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: Egemen - Eylül 13, 2014, 07:08:46 ös
-
$2250^{20}$ sayısının pozitif bölenleri içerisinden biri diğerini bölmeyecek şekilde en fazla kaç tane bölen seçilebilir?
-
Soruyu anlayamadım.
Asallar alınır biri diğerini bölmez.
Acaba alınacak eleman sayısı mı verilmeli
-
Soruyu anlayamadım.
Asallar alınır biri diğerini bölmez.
Acaba alınacak eleman sayısı mı verilmeli
$2250^{20} = (5^{3}.3^{2}.2)^{20}$
5, 3 ve 2 yi alinca 3 tane oluyor ve soru en fazla demis baska sekillerde olabilir mesela
216 icin
$2^{3}.3^{3}$
$3^{3}$
$3^{2}.2^{1}$
$3^{1}.2^{2}$
$2^{3}$
seklinde 4 tane diye dusundum bu dogru bir mantik mi?
216 icin cevap kac oluyor?
-
çözüm var mı?
-
$2250^{20}=2^{20}\cdot3^{40}\cdot5^{60}$
Bu sayının bölenleri $0\le a\le20, 0\le b\le40, 0\le c\le60$ olmak üzere $2^a\cdot 3^b\cdot 5^c$ formundadır.
Bilindiği üzere $2^{a_1}\cdot 3^{b_1}\cdot 5^{c_1}$ sayısının $2^{a_2}\cdot 3^{b_2}\cdot 5^{c_2}$ sayısını bölmesi için gerek ve yeter şart $a_1\le a_2, b_1\le b_2, c_1\le c_2$ olmasıdır.
$2250^{20}$ sayısının bölenleri olan $2^a\cdot3^b\cdot5^c$ sayılarında $(a,b)$ ikilisi $21\cdot41$ farklı değer alabilir.
O halde $21\cdot41+1$ farklı bölen alırsak, güvercin yuvası ilkesi gereği $(a,b)$ ikilisi aynı olan iki bölen almayı garantilemiş oluruz. Bu iki bölen $d_1=2^a\cdot3^b\cdot5^{c_1}$ ve $d_2=2^a\cdot3^b\cdot5^{c_2}$ olsun. Eğer $c_1\le c_2$ ise $d_1\mid d_2$ olur, $c_2\le c_1$ ise de $d_2\mid d_1$ olur.
Yani $21.41+1$ bölen aldığımızda biri diğerini bölen ikisi her halükarda bulunmakta.
Şimdi $21.41$ bölenin, biri diğerini bölecek şekilde ikisi bulunmayacak şekilde alınabileceğini gösterelim.
$0\le a\le20, 0\le b\le40$ olacak şekilde $2^a\cdot3^b\cdot5^{60-a-b}$ sayılarını alalım.
Bu sayılar $2250^{20}$ sayısını böler.
Ayrıca biri diğerini bölmez, çünkü $d_1=2^{a_1}\cdot3^{b_1}\cdot5^{60-a_1-b_1}, d_2=2^{a_2}\cdot3^{b_2}\cdot5^{60-a_2-b_2}$ olmak üzere $d_1\mid d_2$ olsaydı $a_1\le a_2, b_1\le b_2, 60-a_1-b_1\le 60-a_2-b_2$ olması gerekirdi.
İlk iki eşitsizlik gereği $60-a_2-b_2\le60-a_1-b_1$ olması da gerektiğinden, $60-a_1-b_1=60-a_2-b_2\Longrightarrow a_1+b_1=a_2+b_2\Longrightarrow a_1=a_2, b_1=b_2\Longrightarrow d_1=d_2$ olur.
Yani gerçekten farklı iki bölen için biri diğerini bölemez.
O halde yanıt: $\boxed{21\cdot41}$