Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: okyardemir - Ağustos 27, 2014, 12:53:35 ös
-
.
-
Öncelikle sorunun şıklarının yanlış olduğunu belirtelim. İfadedeki $18a^2 + 32b^2$'nin değeri $16$ dır. Kalan $3a+4b+27ab$ de pozitif değer alabildiğinden cevap şıklarda yoktur. Ancak yine de soruyu çözelim :)
$18a^2 + 27ab + 32b^2 + 3a + 4b = 16 + 3a + 4b + 27ab$
O halde $3a + 4b + 27ab$ ifadesinin en büyük değerini bulmalıyız.
Cauchy - Schwarz Eşitsizliği:
$(9a^2+16b^2)(1+1)\ge(3a+4b)^2 \Longrightarrow 4\ge3a+4b$
Öte yandan,
$(3a-4b)^2\ge0 \Longrightarrow 8 \ge 24ab \Longrightarrow 9\ge27ab$
O halde,
$18a^2 + 27ab + 32b^2 + 3a + 4b = 16 + (3a + 4b) + 27ab \le 16 + 4 + 9 = 29$ bulunur.
Eşitlik durumu $9a^2 = 16b^2$ ve $3a-4b=0$ eşitlikleri sağlandığında, yani $3a=4b$ olduğunda sağlanır. Verilen eşitlikten $a=\dfrac{2}{3}$ ve $b=\dfrac{1}{2}$ olması gerektiği bulunabiliir.
Not: Benzer şekilde başka bir soru TÜBİTAK tarafından 2004 lise matematik olimpiyatı 1. aşamada sorulmuştur: http://geomania.org/forum/2004-161/tubitak-lise-1-asama-2004-soru-28/
-
Teşekkür ederim Sayın hocam